Скачать файл в формате pdf.


Алгебра 10-11 класс. Квадратные неравенства с параметрами

В данном разделе будут рассмотрены квадратные неравенства с параметрами, для решения которых будут использованы материалы, изученные в предыдущих разделах:

Исследование дискриминанта и применение теоремы Виета;

Раcположение корней квадратного трехчлена относительно данных чисел.

Также для решения задач этого раздела необходимо уметь «легко» решать квадратные неравенства. В целом решение квадратных неравенств с параметрами вызывают больше трудностей, нежели решений квадратных уравнений с параметрами. Это связано с тем, при решении неравенств приходится разбирать больше случаев и проводить более тонкие логические рассуждения, чем при решении уравнений.

Задачи для самостоятельного решения

Задача 1. При каких значениях параметра а неравенство  \({x^2} — 2\left( {a + 1} \right)\,x + 9a — 5 > 0\)  выполняется при всех значениях x?

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {1;\,6} \right).\)

Задача 2. При каких значениях параметра а неравенство  \( — {x^2} + a\,x — 9 < 0\)  выполняется при всех значениях x?

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( { — 6;\,6} \right).\)

Задача 3. При каких значениях параметра а неравенство  \(\left( {{a^2} — 1} \right){x^2} + 2\left( {a — 1} \right)\,x + 1 > 0\)  выполняется при всех значениях x?

Ответ

ОТВЕТ: \(\left[ {1;\,\infty } \right).\)

Задача 4. При каких значениях параметра а неравенство  \(\left( {{a^2} — 4} \right){x^2} + 2\left( {a + 2} \right)\,x — 1 < 0\)  выполняется при всех значениях x?

Ответ

ОТВЕТ: \(\left[ { — 2;0} \right).\)

Задача 5. При каких значениях параметра а неравенство  \(\left( {2a + 3} \right){x^2} — 2a\,x + a — 2 \geqslant 0\)  не выполняется ни для одного значения x?

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( { — \infty ;\, — 2} \right).\)

Задача 6. При каких значениях параметра а неравенство  \(\left( {a — 3} \right){x^2} — 2a\,x + 3a — 6 \geqslant 0\)  не выполняется ни для одного значения x?

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( { — \infty ;\,\frac{3}{2}} \right).\)

Задача 7. Решите неравенство при всех значениях параметра а\({x^2} — 3\,a\,x + 2{a^2} \geqslant 0.\)

Ответ

ОТВЕТ: \(x \in \left( { — \infty ;\,2a} \right] \cup \left[ {a;\,\infty } \right)\) при \(a \in \left( { — \infty ;\,0} \right);\) \(x \in R\) при \(a = 0;\) \(x \in \left( { — \infty ;\,a} \right] \cup \left[ {2a;\,\infty } \right)\) при \(a \in \left( {0;\,\infty } \right).\)

Задача 8. Решите неравенство при всех значениях параметра а\({x^2} + \left( {a — 5} \right)x — 2{a^2} + 2a + 4 < 0.\)

Ответ

ОТВЕТ: \(x \in \left( {a + 1;\,4 — 2a} \right)\) при \(a \in \left( { — \infty ;\,1} \right);\) нет решений при \(a = 1;\) \(x \in \left( {4 — 2a;\,a + 1} \right)\) при \(a \in \left( {1;\,\infty } \right).\)

Задача 9. Решите неравенство при всех значениях параметра а\(a\,{x^2} — 2x + 1 > 0.\)

Ответ

ОТВЕТ: \(x \in \left( {\frac{{1 + \sqrt {1 — a} }}{a};\,\frac{{1 — \sqrt {1 — a} }}{a}} \right)\) при \(a \in \left( { — \infty ;\,0} \right);\) \(x \in \left( { — \infty ;\,\frac{1}{2}} \right)\) при \(a = 0;\) \(x \in \left( { — \infty ;\,\frac{{1 — \sqrt {1 — a} }}{a}} \right) \cup \left( {\frac{{1 + \sqrt {1 — a} }}{a};\,\infty } \right)\) при \(a \in \left( {\,0;\,1} \right];\) \(x \in R\) при \(a \in \left( {\,1;\,\infty } \right).\)

Задача 10. Решите неравенство при всех значениях параметра а\(\left( {1 — {a^2}} \right){x^2} + 2\,a\,x + 1 \geqslant 0.\)

Ответ

ОТВЕТ: \(x \in \left[ {\frac{{ — a + \sqrt {2{a^2} — 1} }}{{1 — {a^2}}};\,\frac{{ — a — \sqrt {2{a^2} — 1} }}{{1 — {a^2}}}} \right]\) при \(a \in \left( { — \infty ;\, — 1} \right) \cup \left( {1;\,\infty } \right);\) \(x \in \left( { — \infty ;\,\frac{1}{2}} \right]\) при \(a =  — 1;\) \(x \in \left[ { — \frac{1}{2};\,\infty } \right)\) при \(a = 1;\) \(x \in \left( { — \infty ;\,\frac{{ — a — \sqrt {2{a^2} — 1} }}{{1 — {a^2}}}} \right] \cup \left[ {\frac{{ — a + \sqrt {2{a^2} — 1} }}{{1 — {a^2}}};\,\infty } \right)\) при \(a \in \left( { — 1;\, — \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) \cup \left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2};\,1} \right);\) \(x \in R\) при \(a \in \left[ { — \frac{{\sqrt 2 }}{2};\,\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right].\)

Задача 11. При каких значениях параметра а неравенство  \(\frac{{{x^2} + \left( {2a — 1} \right)x + 8 — 9a}}{{2{x^2} — 3x + 3}} \leqslant 1\)  выполняется при всех значениях x?

Ответ

ОТВЕТ: \(\left[ {\,1;\,6} \right].\)

Задача 12. При каких значениях параметра а неравенство  \(\frac{{ — {x^2} + \left( {2a + 2} \right)x — a}}{{ — {x^2} + x — 1}} \leqslant 2\)  выполняется при всех значениях x?

Ответ

ОТВЕТ: \(\left[ { — 2;\,1} \right].\)

Текстовое решение задач:

1B 2B 3B 4B 5B 6B 7B 8B 9B 10B
11B 12B