| Задача 1. Сумма третьего, седьмого, четырнадцатого и восемнадцатого членов арифметической прогрессии равна 10. Найдите сумму первых двадцати членов этой прогрессии. |
| Задача 2. Решите уравнение: \(1 + 3 + 5 + 7 + \ldots + x = 625\). |
| Задача 3. В арифметической прогрессии при любом n сумма ее первых n членов равна \(5{n^2}\). Найти разность этой прогрессии. |
| Задача 4. В арифметической прогрессии сумма первых трех членов равна 30, разность шестого и четвертого членов равна \( — 4\), а n-й член равен \( — 10\). Чему равно n? |
| Задача 5. Сумма первых трех членов возрастающей арифметической прогрессии равна 21. Если от первых двух членов этой прогрессии отнять по 1, а к третьему прибавить 2, то полученные три числа составят геометрическую прогрессию. Найти сумму восьми первых членов геометрической прогрессии. |
| Задача 6. Второй член геометрической прогрессии равен \( — 6\), а пятый равен 48. Найти сумму первых шести членов прогрессии. |
| Задача 7. В возрастающей геометрической прогрессии каждый член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих. Найти знаменатель прогрессии. |
| Задача 8. Три числа \(x,y,z\) образуют в указанном порядке геометрическую прогрессию с отличным от единицы знаменателем, а числа \(x,\;2y,\;3z\) образуют в указанном порядке арифметическую прогрессию. Найти знаменатель геометрической прогрессии. |
| Задача 9. Знаменатель геометрической прогрессии равен \(\frac{1}{3}\), четвертый член этой прогрессии равен \(\frac{1}{{54}}\), а сумма всех ее членов равна \(\frac{{121}}{{162}}\). Найти число членов этой прогрессии. |
| Задача 10. Решите уравнение: \(2x + 1 + {x^2} — {x^3} + {x^4} — {x^5} + \ldots = \frac{{13}}{6}\), где \(\left| {\,x\,} \right| < 1\). |
| Задача 11. Сумма бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем \(\left| {\,q\,} \right| < 1\) равна 16, а сумма квадратов членов этой же прогрессии равна 153,6. Найти четвертый член и знаменатель прогрессии. |
| Задача 12. Сумма первых 22 членов арифметической прогрессии равна \( — 6\), а сумма первых 22 членов другой арифметической прогрессии, имеющей тот же первый член, но противоположную разность, равна 31. Найти первые члены этих прогрессий. |
| Задача 13. Мяч падает с высоты \(2,43\) м и, ударяясь о землю, отскакивает вновь, поднимаясь всякий раз на \(\frac{2}{3}\) предыдущей высоты. После какого количества ударов мяч поднимется на высоту 32 см? |
| Задача 14. В арифметической прогрессии третий член равен 1. При каком значении разности этой прогрессии сумма попарных произведений первых трех членов будет наименьшей? |
| Задача 15. В возрастающей геометрической прогрессии каждый член \({b_n}\;(n > 1)\) равен разности двух соседних с ним членов. Найти \({b_3}\), если \({b_1} = 3 — \sqrt 5 \). |
| Задача 16. Определить глубину колодца, если за его рытье уплачено 238 тыс. руб., причем за каждый следующий метр глубины платили на 2 тыс. руб. больше, чем за предыдущий, а за работу на последнем метре заплатили 30 тыс. руб. |
| Задача 17. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 8, второй ее член равен 2. Найти первый член прогрессии. |
| Задача 18. Сколько членов арифметической прогрессии нужно взять, чтобы их сумма равнялась 91, если ее третий член равен 9, а разность седьмого и второго членов равна 20? |
| Задача 19. Три числа, сумма которых равна 27, составляют убывающую арифметическую прогрессию. Если большее из этих чисел увеличить на 12, то получится геометрическая прогрессия. Найти первый член арифметической прогрессии. |
| Задача 20. Решите уравнение: \(\frac{{x — 1}}{{{x^2}}} + \frac{{x — 2}}{{{x^2}}} + \frac{{x — 3}}{{{x^2}}} + \ldots + \frac{1}{{{x^2}}} = \frac{7}{{15}}.\) |
| Задача 21. В геометрической прогрессии сумма первых четырех членов равна 15, а сумма членов от второго до пятого включительно равна 30. Найти знаменатель прогрессии. |
| Задача 22. Сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 56, а сумма квадратов ее членов равна 448. Найти знаменатель прогрессии. |
| Задача 23. Между числами 113 и 163 вставили девять таких чисел, которые вместе с данными числами образуют арифметическую прогрессию. Найти меньшее из этих чисел. |
| Задача 24. Десятый член геометрической прогрессии в 32 раза больше пятого члена, а шестой член равен 16. Найти первый член прогрессии. |
| Задача 25. Сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна \(\frac{4}{3}\), второй член равен \( — 1\). Найти первый член. |
| Задача 26. Найти сумму двадцати членов арифметической прогрессии, у которой \({a_1} + {a_4} + {a_7} = 45\) и \({a_4} \cdot {a_6} = 315\). |
| Задача 27. В геометрической прогрессии \({b_1} + {b_2} + {b_3} = 6\) и \({b_2} + {b_3} + {b_4} = — 3\). Найти первый член прогрессии. |
| Задача 28. В бесконечно убывающей геометрической прогрессии сумма всех ее членов, стоящих на нечетных местах, равна 36, а сумма всех членов, стоящих на четных местах, равна 12. Найти первый член прогрессии. |
| Задача 29. Решите уравнение: \(1 + x + {x^2} + {x^3} + \ldots + {x^{99}} = 0\). |
| Задача 30. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 4, а сумма кубов ее членов равна 192. Найти первый член прогрессии. |
| Задача 31. В соревнованиях по стрельбе за каждый промах в серии из 25 выстрелов стрелок получал штрафные очки: за первый промах – одно штрафное очко, а за каждый последующий – на 0,5 очка больше, чем за предыдущий. Сколько раз попал в цель стрелок, получивший 7 штрафных очков? |
| Задача 32. Турист, поднимаясь в гору, в первый час достиг высоты 800 м, а каждый следующий час поднимался на высоту, на 25 м меньшую, чем в предыдущий. За сколько часов он достиг высоты 5700 м? |
| Задача 33. Сумма третьего и девятого членов арифметической прогрессии равна 8. Найти сумму 11 первых членов этой прогрессии. |
| Задача 34. Известно, что при любом \(n\) сумма \({S_n}\) членов некоторой арифметической прогрессии выражается формулой \({S_n} = 4{n^2} — 3n\). Найти первый член этой прогрессии. |
| Задача 35. В бесконечной геометрической прогрессии с положительными членами и со знаменателем \(\left| {\,q\,} \right| < 1\) сумма первых трех членов равна 10,5, а сумма прогрессии равна 12. Найти первый член прогрессии. |
| Задача 36. В арифметической прогрессии содержится 10 членов. Сумма членов, стоящих на четных местах, равна 50, а членов, стоящих на нечетных местах, равна 35. Определить первый член прогрессии. |
| Задача 37. Сумма первых 24 членов арифметической прогрессии равна 33, а сумма первых 24 членов другой арифметической прогрессии, имеющей тот же первый член, но противоположную разность, равна \( — 8\). Найти первые члены этих прогрессий. |
| Задача 38. Пятый член арифметической прогрессии равен 4. Какова должна быть разность прогрессии, чтобы сумма квадратов второго и шестого членов была наименьшей? |
| Задача 39. Найти пятый член арифметической прогрессии, если среднее арифметическое первых четырнадцати членов (т.е. \(\frac{1}{{14}}\)-я часть их суммы) на 9 больше половины ее десятого члена. |
| Задача 40. Три числа, последнее из которых равно 12, образуют геометрическую прогрессию. Если вместо 12 взять 9, то получится арифметическая прогрессия. Найти эти числа. |
| Задача 41. Три целых положительных числа образуют геометрическую прогрессию. Найти третий член этой прогрессии, если ее второй член на 1 больше первого. |
| Задача 42. Все члены арифметической прогрессии – натуральные числа. Сумма ее девяти первых членов больше 200, но меньше 220. Найти первый член прогрессии, если \({a_2} = 12\). |
| Задача 43. В магазине продано 12 т орехов трех сортов по цене соответственно 2 руб., 4 руб., и 6 руб. за 1 кг на общую сумму 42 тыс. руб. Известно, что количество тонн проданных орехов соответственно первого, второго и третьего сортов образуют арифметическую прогрессию. Сколько тонн орехов каждого сорта продано в магазине? |
| Задача 44. В возрастающей геометрической прогрессии сумма первого и последнего ее членов равна 164, а произведение второго и предпоследнего членов равно 324. Найти последний член прогрессии. |
| Задача 45. Числа \(a,\;b,\;c,\;d\) составляют геометрическую прогрессию. Найдите сумму \(\quad {\left( {a — c} \right)^2} + {\left( {b — c} \right)^2} + {\left( {b — d} \right)^2} — {\left( {a — d} \right)^2}\). |
| Задача 46. Сумма первых пяти членов геометрической прогрессии на 1,5 больше, чем сумма ее первых трех членов. Пятый член прогрессии равен третьему, умноженному на 4. Найдите ее четвертый член, если известно, что знаменатель прогрессии положителен. |
| Задача 47. Найти десятый член геометрической прогрессии с положительными членами, если среднее геометрическое первых двенадцати членов (т.е. корень 12-й степени из их произведения) в 2 раза больше корня квадратного из ее третьего члена. |
| Задача 48. Первый член арифметической прогрессии в 2 раза больше первого члена геометрической прогрессии и в 5 раз больше второго члена геометрической прогрессии. Четвертый член арифметической прогрессии составляет 50% от второго члена арифметической прогрессии. Найти первый член арифметической прогрессии, если известно, что второй ее член больше третьего члена геометрической прогрессии на 36. |
| Задача 49. Решите уравнение: \(\frac{1}{x} + x + {x^2} + \ldots + {x^n} + \ldots = \frac{7}{2}\), где \(\left| {\,x\,} \right| < 1\). |
| Задача 50. Решите уравнение: \(\frac{{x — 1}}{x} + \frac{{x — 2}}{x} + \frac{{x — 3}}{x} + \ldots + \frac{1}{x} = 3.\) |