Скачать задания в формате pdf.
Задания 18 ЕГЭ по математике профильного уровня 2022 год
(числа и их свойства)
1) (28.03.2022 досрочная волна) Каждое из четырёх последовательных натуральных чисел разделили на свою первую цифру. Пусть S – сумма четырёх получившихся чисел.
а) Может ли \(S = 41\frac{{11}}{{24}}?\)
б) Может ли \(S = 569\frac{{29}}{{72}}?\)
в) Какое наибольшее целое значение может принимать S, если известно, что 4 исходных числа не меньше 400 и не больше 999?
2) (28.03.2022 досрочная волна) Даны четыре последовательных натуральных числа. Каждое из чисел поделили на одну из его цифр, не равную нулю, а затем четыре полученных результата сложили.
а) Может ли полученная сумма равняться 386?
б) Может ли полученная сумма равняться 9,125?
в) Какое наибольшее целое значение может принимать полученная сумма, если известно, что каждое из исходных чисел не меньше 200 и не больше 699?
3) (28.03.2022 досрочная волна) Каждое из четырех последовательных натуральных чисел, последняя цифра которых не равна нулю, разделили на его последнюю цифру. Полученные результаты сложили и назвали S.
а) Может ли \(S = 16\frac{5}{6}?\)
б) Может ли \(S = 369\frac{{29}}{{126}}?\)
в) Если числа были трехзначные, то какое наибольшее целое значение S могло получиться?
4) (02.06.2022 основная волна) По кругу расставлено N различных натуральных чисел, каждое из которых не превосходит 425. Сумма любых четырёх идущих подряд чисел делится на 4, а сумма любых трёх идущих подряд чисел нечётна.
а) Может ли N быть равным 280?
б) Может ли N быть равным 149?
в) Найдите наибольшее значение N.
5) (02.06.2022 основная волна) Есть четыре коробки: в первой коробке 101 камень, во второй — 102, в третьей — 103, а в четвёртой коробке камней нет. За один ход берут по одному камню из любых трёх коробок и кладут в оставшуюся. Сделали некоторое количество таких ходов.
а) Могло ли в первой коробке оказаться 97 камней, во второй — 102, в третье — 103, а в четвёртой — 4?
б) Могло ли в четвёртой коробке оказаться 306 камней?
в) Какое наибольшее число камней могло оказаться в первой коробке?
6) (02.06.2022 основная волна) Имеются три коробки: в первой — 97 камней, во второй — 104 камня, в третьей пусто. За один ход разрешается взять по камню из двух коробок и положить в оставшуюся.
а) Может ли в первой коробке оказаться 97 камней, во второй — 89, в третьей — 15?
б) Может ли в третьей коробке оказаться 201 камень?
в) Найдите наибольшее возможное количество камней в третьей коробке.
7) (02.06.2022 основная волна) С трёхзначным числом производят следующую операцию: вычитают из него сумму его цифр, а затем получившуюся разность делят на 3.
а) Могло ли в результате такой операции получиться число 300?
б) Могло ли в результате такой операции получиться число 151?
в) Сколько различных чисел может получиться в результате такой операции из чисел от 100 до 600 включительно?
8) (02.06.2022 основная волна) На доске написано N различных натуральных чисел, каждое из которых не превосходит 99. Для любых двух написанных на доске чисел a и b, таких, что a < b, ни одно из написанных чисел не делится на b – a, и ни одно из написанных чисел не является делителем числа b – a.
а) Могли ли на доске быть написаны какие-то два числа из чисел 18, 19 и 20?
б) Среди написанных на доске чисел есть 17. Может ли N быть равно 25?
в) Найдите наибольшее значение N.
9) (27.06.2022 резервная волна) У ювелира есть 47 полудрагоценных камней, масса каждого из которых — целое число граммов, не меньшее 100 (некоторые камни могут иметь равную массу). Эти камни распределили по трем кучам: в первой куче n1 камней, во второй — n2 камней, в третьей — n3 камней, причем n1 < n2 < n3. Суммарная масса (в граммах) камней в первой куче равна S1, во второй — S2, а в третьей — S3.
а) Может ли выполняться неравенство S1 > S2 > S3?
б) Может ли выполняться неравенство S1 > S2 > S3, если масса любого камня не превосходит 105 граммов?
в) Известно, что масса любого камня не превосходит k граммов. Найдите наименьшее целое значение k, для которого может выполняться неравенство S1 > S2 > S3.
10) (27.06.2022 резервная волна) На доске написано несколько различных натуральных чисел. Дробная часть среднего арифметического этих чисел равна 0,32 (то есть если вычесть из среднего арифметического этих чисел 0,32, то получится целое число).
а) Могло ли на доске быть написано меньше 100 чисел?
б) Могло ли на доске быть написано меньше 20 чисел?
в) Найдите наименьшее возможное значение среднего арифметического этих чисел.