Задача 25. На рисунке изображён график функции  \(f\left( x \right) = {a^{x + b}}.\)   Найдите  \(f\left( { — 5} \right).\)

Ответ

ОТВЕТ: 0,125.

 

Решение

График показательной функции  \(f\left( x \right) = {a^{x + b}}\) проходит через точки \(\left( {3;2} \right)\) и \(\left( {5;4} \right)\).

Следовательно:   \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2 = {a^{3 + b}}}\\{4 = {a^{5 + b}}}\end{array}} \right.\)

Разделим второе уравнение на первое:    \(\frac{{{a^{5 + b}}}}{{{a^{3 + b}}}} = \frac{4}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,{a^2} = 2\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,a = \sqrt 2 .\)

Тогда:     \({\sqrt 2 ^{3 + b}} = 2\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,{2^{\frac{{3 + b}}{2}}} = {2^1}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\frac{{3 + b}}{2} = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,b =  — 1.\)

Таким образом:   \(f\left( x \right) = {\sqrt 2 ^{\,x — 1}}\)    и    \(f\left( { — 5} \right) = {\sqrt 2 ^{ \,- 5 — 1}} = {2^{\frac{1}{2} \cdot \left( { — 6} \right)}} = {2^{ — 3}} = \frac{1}{8} = 0,125.\)

Ответ: 0,125.