Задача 24. Найдите наибольшее значение функции    \(y = 9{x^2} — {x^3}\)    на отрезке \(\left[ {2;\;10} \right]\)

Ответ

ОТВЕТ: 108.

Решение

Область определения функции: \(x \in R.\)

Найдём производную заданной функции:     \(y’ = 18x — 3{x^2}.\)

Найдём нули производной:

\(18x — 3{x^2} = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,{x_1} = 0,\,\,\,\,\,{x_2} = 6.\)

Значение  \({x_1} = 0 \notin \left[ {2;10} \right].\)  Наибольшее значение функции будет в концах отрезка  \(\left[ {2;10} \right]\), то есть в точках  \(x = 2,\,\,\,\,x = 10\)  или в точке  \(x = 6:\)

\(y\left( 2 \right) = 9 \cdot {2^2} — {2^3} = 28;\)

\(y\left( {10} \right) = 9 \cdot {10^2} — {10^3} =  — 100;\)

\(y\left( 6 \right) = 9 \cdot {6^2} — {6^3} = 108.\)

Следовательно, наибольшее значение функции равно  108.

Ответ:  108.