Область определения функции: \(x \in R.\)
Найдём производную заданной функции: \(y’ = 18x — 3{x^2}.\)
Найдём нули производной:
\(18x — 3{x^2} = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,{x_1} = 0,\,\,\,\,\,{x_2} = 6.\)
Значение \({x_1} = 0 \notin \left[ {2;10} \right].\) Наибольшее значение функции будет в концах отрезка \(\left[ {2;10} \right]\), то есть в точках \(x = 2,\,\,\,\,x = 10\) или в точке \(x = 6:\)
\(y\left( 2 \right) = 9 \cdot {2^2} — {2^3} = 28;\)
\(y\left( {10} \right) = 9 \cdot {10^2} — {10^3} = — 100;\)
\(y\left( 6 \right) = 9 \cdot {6^2} — {6^3} = 108.\)
Следовательно, наибольшее значение функции равно 108.
Ответ: 108.