Задача 59. Найдите точку максимума функции \(y = {\left( {x — 2} \right)^2}\left( {x — 4} \right) + 5\)
Область определения функции: \(x \in \,\,R.\) Найдём производную заданной функции: \(y’ = \,{\left( {{{\left( {x — 2} \right)}^2}} \right)^\prime }\left( {x — 4} \right) + {\left( {x — 2} \right)^2}{\left( {x — 4} \right)^\prime } + 5′ = 2\left( {x — 2} \right)\left( {x — 4} \right) + {\left( {x — 2} \right)^2} = \) \( = \left( {x — 2} \right)\left( {2\left( {x — 4} \right) + x — 2} \right) = \left( {x — 2} \right)\left( {2x — 8 + x — 2} \right) = \left( {x — 2} \right)\left( {3x — 10} \right).\) Найдём нули производной: \(\left( {x — 2} \right)\left( {3x — 10} \right) = 0\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{x_1} = 2,\,\,\,\,\,\,{x_2} = \frac{{10}}{3}.\) Определим знаки производной и её поведение: Следовательно, точка максимума \(x = 2.\) Ответ: 2.