Задача 1. Найдите наименьшее значение функции \(y = 4x — \ln {\left( {x + 8} \right)^4}\) на отрезке \(\left[ { — 7,5;\;0} \right]\)
Область определения функции: \(x \ne — 8.\) Воспользуемся свойством логарифмов: \({\log _a}{b^p} = p{\log _a}\left| b \right|\), если p – четное. Тогда: \(y = 4x — 4\ln \left| {x + 8} \right|\). Так как \(x\, \in \,\left[ { — 7,5;0} \right]\), то \(x + 8 > 0\) и \(\left| {x + 8} \right| = x + 8\). Поэтому: \(y = 4x — 4\ln \left( {x + 8} \right)\). Найдем производную полученной функции: \(y’ = 4 — \frac{4}{{x + 8}}\). Найдем нули производной: \(4 — \frac{4}{{x + 8}} = 0\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,x + 8 = 1\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,x = — 7.\) Определим знаки производной функции на отрезке \(\left[ { — 7,5;0} \right]\) и её поведение: Следовательно, наименьшее значение функции на отрезке \(\left[ { — 7,5;0} \right]\) будет в точке \(x = — 7.\) \(y\left( { — 7} \right) = 4 \cdot \left( { — 7} \right) — \ln {\left( { — 7 + 8} \right)^4} = — 28 — \ln 1 = — 28.\) Ответ: – 28.