ЕГЭ профильный уровень. №12 Логарифмические функции. Задача 16

Задача 16. Найдите точку минимума функции \(y = 0,5{x^2} — 8x + 12\ln x + 10\)

Ответ

ОТВЕТ: 6.

Решение

Область определения функции: \(x\, \in \,\left( {0;\infty } \right).\)

Найдем производную заданной функции: \(y’ = x — 8 + \dfrac{{12}}{x}.\)

Найдем нули производной:

\(x — 8 + \dfrac{{12}}{x} = 0\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,{x^2} — 8x + 12 = 0\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,{x_1} = 2,\,\,\,\,\,{x_2} = 6.\)

Определим знаки производной функции и её поведение:

Следовательно, точка минимума \(x = 6.\)

Ответ: 6.