Область определения функции: \(x\, \in \,\left( { — 7;\infty } \right).\)
Найдем производную заданной функции: \(y’ = \frac{8}{{x + 7}} — 8\).
Найдем нули производной:
\(\frac{8}{{x + 7}} — 8 = 0\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,x + 7 = 1\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,x = — 6.\)
Определим знаки производной функции на отрезке \(\left[ { — 6,5;0} \right]\) и её поведение:
Следовательно, наибольшее значение функции на отрезке \(\left[ { — 6,5;0} \right]\) будет в точке \(x = — 6.\)
\(y\left( { — 6} \right) = 8\,\ln \left( { — 6 + 7} \right) — 8 \cdot \left( { — 6} \right) + 3 = 8\,\ln 1 + 48 + 3 = 51.\)
Ответ: 51.