Задача 4. Найдите наибольшее значение функции   \(y = 8\ln \left( {x + 7} \right) — 8x + 3\) на отрезке   \(\left[ { — 6,5;\;0} \right]\)

Ответ

ОТВЕТ: 51.

Решение

Область определения функции: \(x\, \in \,\left( { — 7;\infty } \right).\)

Найдем производную заданной функции:   \(y’ = \frac{8}{{x + 7}} — 8\).

Найдем нули производной:

\(\frac{8}{{x + 7}} — 8 = 0\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,x + 7 = 1\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,x =  — 6.\)

Определим знаки производной функции на отрезке \(\left[ { — 6,5;0} \right]\) и её поведение:

Следовательно, наибольшее значение функции на отрезке \(\left[ { — 6,5;0} \right]\) будет в точке \(x =  — 6.\)

\(y\left( { — 6} \right) = 8\,\ln \left( { — 6 + 7} \right) — 8 \cdot \left( { — 6} \right) + 3 = 8\,\ln 1 + 48 + 3 = 51.\)

Ответ:  51.