Задача 5. Найдите наименьшее значение функции \(y = 18x — \ln \left( {18x} \right) + 11\) на отрезке \(\left[ {\frac{1}{{36}};\;\frac{5}{{36}}} \right]\)
Область определения функции: \(x\, \in \,\left( {0;\infty } \right).\) Найдем производную заданной функции: \(y’ = 18 — \frac{1}{{18x}} \cdot {\left( {18x} \right)^\prime } = 18 — \frac{1}{{18x}} \cdot 18 = 18 — \frac{1}{x}.\) Найдем нули производной: \(18 — \frac{1}{x} = 0\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{1}{x} = 18\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,x = \frac{1}{{18}}.\) Определим знаки производной функции на отрезке \(\left[ {\frac{1}{{36}};\frac{5}{{36}}} \right]\) и её поведение: Следовательно, наименьшее значение функции на отрезке \(\left[ {\frac{1}{{36}};\frac{5}{{36}}} \right]\) будет в точке \(x = \frac{1}{{18}}.\) \(y\left( {\frac{1}{{18}}} \right) = 18 \cdot \frac{1}{{18}} — \ln \left( {18 \cdot \frac{1}{{18}}} \right) + 11 = 1 — \ln 1 + 11 = 12.\) Ответ: 12.