Область определения функции: \(x\, \in \,\left( {0;\infty } \right).\)
Найдем производную заданной функции: \(y’ = \frac{1}{{11x}} \cdot {\left( {11x} \right)^\prime } — 11 = \frac{1}{{11x}} \cdot 11 — 11 = \frac{1}{x} — 11.\)
Найдем нули производной:
\(\frac{1}{x} — 11 = 0\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{1}{x} = 11\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,x = \frac{1}{{11}}.\)
Определим знаки производной функции на отрезке \(\left[ {\frac{1}{{22}};\frac{5}{{22}}} \right]\) и её поведение:
Следовательно, наибольшее значение функции на отрезке \(\left[ {\frac{1}{{22}};\frac{5}{{22}}} \right]\) будет в точке \(x = \frac{1}{{11}}.\)
\(y\left( {\frac{1}{{11}}} \right) = \ln \left( {11 \cdot \frac{1}{{11}}} \right) — 11 \cdot \frac{1}{{11}} + 9 = \ln 1 — 1 + 9 = 8.\)
Ответ: 8.