Задача 7. Найдите наибольшее значение функции   \(y = 3{x^2} — 13x + 7\ln x + 5\) на отрезке   \(\left[ {\frac{{13}}{{14}};\;\frac{{15}}{{14}}} \right]\)

Ответ

ОТВЕТ: — 5.

Решение

Область определения функции: \(x\, \in \,\left( {0;\infty } \right).\)

Найдем производную заданной функции:   \(y’ = 6x — 13 + \frac{7}{x}.\)

Найдем нули производной:

\(6x — 13 + \frac{7}{x} = 0\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,6{x^2} — 13x + 7 = 0\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,{x_1} = 1,\,\,\,\,\,\,{x_2} = \frac{7}{6}.\)

Значение  \({x_2} = \frac{7}{6}\,\, \notin \,\,\left[ {\frac{{13}}{{14}};\frac{{15}}{{14}}} \right].\)

Определим знаки производной функции на отрезке \(\left[ {\frac{{13}}{{14}};\frac{{15}}{{14}}} \right]\) и её поведение:

Следовательно, наибольшее значение функции на отрезке \(\left[ {\frac{{13}}{{14}};\frac{{15}}{{14}}} \right]\) будет в точке \(x = 1.\)

\(y\left( 1 \right) = 3 \cdot {1^2} — 13 \cdot 1 + 7\ln 1 + 5 = 3 — 13 + 5 =  — 5.\)

Ответ:  – 5.