Задача 8. Найдите наименьшее значение функции \(y = {x^2} — 3x + \ln x + 10\) на отрезке \(\left[ {\frac{3}{4};\;\frac{5}{4}} \right]\)
Область определения функции: \(x\, \in \,\left( {0;\infty } \right).\) Найдем производную заданной функции: \(y’ = 2x — 3 + \frac{1}{x}.\) Найдем нули производной: \(2x — 3 + \frac{1}{x} = 0\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,2{x^2} — 3x + 1 = 0\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,{x_1} = 1,\,\,\,\,\,\,{x_2} = \frac{1}{2}.\) Значение \({x_2} = \frac{1}{2}\,\, \notin \,\,\left[ {\frac{3}{4};\frac{5}{4}} \right].\) Определим знаки производной функции на отрезке \(\left[ {\frac{3}{4};\frac{5}{4}} \right]\) и её поведение: Следовательно, наибольшее значение функции на отрезке \(\left[ {\frac{3}{4};\frac{5}{4}} \right]\) будет в точке \(x = 1.\) \(y\left( 1 \right) = {1^2} — 3 \cdot 1 + \ln 1 + 10 = 1 — 3 + 10 = 8.\) Ответ: 8.