Задача 1. Найдите наименьшее значение функции  \(y = \left( {x — 63} \right){e^{x — 62}}\)     на отрезке   \(\left[ {61;63} \right]\)

Ответ

ОТВЕТ: — 1.

Решение

Область определения функции: \(x\, \in \,R.\)

Найдем производную заданной функции:

\(y’ = {\left( {x — 63} \right)^\prime }{e^{x — 62}} + \left( {x — 63} \right){\left( {{e^{x — 62}}} \right)^\prime } = {e^{x — 62}} + \left( {x — 63} \right){e^{x — 62}} = {e^{x — 62}}\left( {1 + x — 63} \right) = {e^{x — 62}}\left( {x — 62} \right).\)

Найдем нули производной:

\({e^{x — 62}}\left( {x — 62} \right) = 0\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,x — 62 = 0\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,x = 62.\)

Определим знаки производной функции на отрезке \(\left[ {61;63} \right]\) и её поведение:

Следовательно, наименьшее значение функции на отрезке \(\left[ {61;63} \right]\) будет в точке \(x = 62.\)

\(y\left( {62} \right) = \left( {62 — 63} \right){e^{62 — 62}} =  — 1.\)

Ответ:  – 1.