Задача 11. Найдите точку максимума функции \(y = {\left( {x — 9} \right)^2}{e^{9 — x}}\)
Область определения функции: \(x\, \in \,R.\) Найдем производную заданной функции: \(y’ = {\left( {{{\left( {x — 9} \right)}^2}} \right)^\prime }{e^{9 — x}} + {\left( {x — 9} \right)^2}{\left( {{e^{9 — x}}} \right)^\prime } = 2\left( {x — 9} \right){e^{9 — x}} + {\left( {x — 9} \right)^2}{e^{9 — x}}{\left( {9 — x} \right)^\prime } = \) \( = 2\left( {x — 9} \right){e^{9 — x}} — {\left( {x — 9} \right)^2}{e^{9 — x}} = {e^{9 — x}}\left( {x — 9} \right)\left( {2 — x + 9} \right) = {e^{9 — x}}\left( {x — 9} \right)\left( {11 — x} \right).\) Найдем нули производной: \({e^{9 — x}}\left( {x — 9} \right)\left( {11 — x} \right) = 0\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {x — 9} \right)\left( {11 — x} \right) = 0\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,{x_1} = 9,\,\,\,\,\,\,{x_2} = 11.\) Определим знаки производной функции и её поведение: Следовательно, точка максимума \(x = 11.\) Ответ: 11.