Задача 11. Найдите наименьшее значение функции    \(y = {2^{{x^2} + 2x + 5}}\)

Ответ

ОТВЕТ: 16.

Решение

Показательная функция  \(y = {2^x}\)  является возрастающей, так основание 2 больше 1.  Графиком функции  \(f\left( x \right) = {x^2} + 2x + 5\)  является парабола ветвями направленными вверх. Следовательно, её вершина  \({x_B} =  — \frac{b}{{2a}} =  — \frac{2}{2} =  — 1\)  является точкой минимума функции  \(f\left( x \right),\) а так же и точкой минимума исходной функция  \(y = {2^{{x^2} + 2x + 5}}.\) Следовательно, наименьшее значение исходной функции будет в точке \(x =  — 1:\)  \(y\left( { — 1} \right) = {2^{1 — 2 + 5}} = {2^4} = 16.\)

Ответ:  16.