Задача 5. Найдите точку максимума функции    \(y = {\log _2}\left( {2 + 2x — {x^2}} \right) — 2\)

Ответ

ОТВЕТ: 1.

Решение

Логарифмическая функция  \(y = {\log _2}x\)  является возрастающей при  \(x > 0.\)  Графиком функции  \(f\left( x \right) = 2 + 2x — {x^2}\)  является парабола ветвями направленными вниз. Следовательно, её вершина  \({x_B} =  — \frac{b}{{2a}} =  — \frac{2}{{2 \cdot \left( { — 1} \right)}} = 1\)  является точкой максимума функции  \(f\left( x \right).\)  Так как функция  \(y = {\log _2}\left( {2 + 2x — {x^2}} \right) — 2\)  определена в точке  \(x = 1\)  \(\left( {\,\,y\left( 1 \right) = {{\log }_2}\left( {2 + 2 — 1} \right) — 2 =  — 2 + {{\log }_2}3\,\,} \right),\)  то  \(x = 1\)  является её точкой максимума.

Ответ:  1.