ЕГЭ профильный уровень. №12 Исследование функций без помощи производной. Задача 5math100admin44242023-09-15T21:36:57+03:00
Задача 5. Найдите точку максимума функции \(y = {\log _2}\left( {2 + 2x — {x^2}} \right) — 2\)
Решение
Логарифмическая функция \(y = {\log _2}x\) является возрастающей при \(x > 0.\) Графиком функции \(f\left( x \right) = 2 + 2x — {x^2}\) является парабола ветвями направленными вниз. Следовательно, её вершина \({x_B} = — \frac{b}{{2a}} = — \frac{2}{{2 \cdot \left( { — 1} \right)}} = 1\) является точкой максимума функции \(f\left( x \right).\) Так как функция \(y = {\log _2}\left( {2 + 2x — {x^2}} \right) — 2\) определена в точке \(x = 1\) \(\left( {\,\,y\left( 1 \right) = {{\log }_2}\left( {2 + 2 — 1} \right) — 2 = — 2 + {{\log }_2}3\,\,} \right),\) то \(x = 1\) является её точкой максимума.
Ответ: 1.