Задача 8. Найдите наибольшее значение функции    \(y = {\log _5}\left( {4 — 2x — {x^2}} \right) + 3\)

Ответ

ОТВЕТ: 4.

Решение

Логарифмическая функция  \(y = {\log _5}x\)  является возрастающей при  \(x > 0.\)  Графиком функции  \(f\left( x \right) = 4 — 2x — {x^2}\)  является парабола ветвями направленными вниз. Следовательно, её вершина  \({x_B} =  — \frac{b}{{2a}} =  — \frac{{ — 2}}{{2 \cdot \left( { — 1} \right)}} =  — 1\)  является точкой максимума функции  \(f\left( x \right)\), а так же и точкой максимума функции  \(y = {\log _5}\left( {4 — 2x — {x^2}} \right) + 3\). Следовательно, наибольшее значение исходной функции будет в точке  \(x =  — 1:\)   \(y\left( { — 1} \right) = {\log _5}\left( {4 + 2 — 1} \right) + 3 = 3 + {\log _5}5 = 4.\)

Ответ:  4.