ЕГЭ профильный уровень. №12 Исследование функций без помощи производной. Задача 8math100admin44242025-04-06T08:25:06+03:00
Задача 8. Найдите наибольшее значение функции \(y = {\log _5}\left( {4 — 2x — {x^2}} \right) + 3\)
Решение
Логарифмическая функция \(y = {\log _5}x\) является возрастающей при \(x > 0.\) Графиком функции \(f\left( x \right) = 4 — 2x — {x^2}\) является парабола ветвями направленными вниз. Следовательно, её вершина \({x_B} = — \dfrac{b}{{2a}} = — \dfrac{{ — 2}}{{2 \cdot \left( { — 1} \right)}} = — 1\) является точкой максимума функции \(f\left( x \right)\), а так же и точкой максимума функции \(y = {\log _5}\left( {4 — 2x — {x^2}} \right) + 3\). Следовательно, наибольшее значение исходной функции будет в точке \(x = — 1:\) \(y\left( { — 1} \right) = {\log _5}\left( {4 + 2 — 1} \right) + 3 = 3 + {\log _5}5 = 4.\)
Ответ: 4.