2C. Решите уравнение    \({x^3} + \dfrac{1}{{{x^3}}} + {x^2} + \dfrac{1}{{{x^2}}} + x + \dfrac{1}{x} = 6\)

Ответ

ОТВЕТ: 1.

Решение

\({x^3} + \dfrac{1}{{{x^3}}} + {x^2} + \dfrac{1}{{{x^2}}} + x + \dfrac{1}{x} = 6.\)

Пусть \(x + \dfrac{1}{x} = t\). Возведём обе части этой замены во вторую и третью степени:

\({\left( {x + \dfrac{1}{x}} \right)^2} = {t^2}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,{x^2} + 2 \cdot x \cdot \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{{x^2}}} = {t^2}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,{x^2} + \dfrac{1}{{{x^2}}} = {t^2}-2.\)

\({\left( {x + \dfrac{1}{x}} \right)^3} = {t^3}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,{x^3} + 3 \cdot {x^2} \cdot \dfrac{1}{x} + 3 \cdot x \cdot \frac{1}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{{x^3}}} = {t^3}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,{x^3} + \dfrac{1}{{{x^3}}} + 3 \cdot \left( {x + \dfrac{1}{x}} \right) = {t^3}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,{x^3} + \dfrac{1}{{{x^3}}} = {t^3}-3t.\)

Тогда исходное уравнение примет вид:

\({t^3}-3t + {t^2}-2 + t = 6\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,{t^3} + {t^2}-2t-8 = 0.\)

Кандидатами в целые корни полученного кубического уравнения являются делители свободного члена, равного \(-8\), то есть: \( \pm 1;\,\, \pm 2;\,\, \pm 4;\,\, \pm 8.\)

Подходит \(t = 2\). Разделим многочлен \({t^3} + {t^2}-2t-8\) на многочлен \(t-2\):

Следовательно, многочлен  \({t^3} + {t^2}-2t-8\)  раскладывается на множители:  \(\left( {t-2} \right)\left( {{t^2} + 3t + 4} \right).\)  Тогда:

\(\left( {t-2} \right)\left( {{t^2} + 3t + 4} \right) = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t-2 = 0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{{t^2} + 3t + 4 = 0}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,t = 2.\)

Вернёмся к прежней переменной:

\(x + \dfrac{1}{x} = 2\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\dfrac{{{x^2}-2x + 1}}{x} = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {x-1} \right)}^2} = 0,}\\{x \ne 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1,}\\{x \ne 0}\end{array}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,x = 1.} \right.\)

Ответ:  1.