Задача 7С. Решите уравнение \(\left| {{x^5}-6{x^2} + 9x-6} \right| = \left| {{x^5}-2{x^3} + 6{x^2}-13x + 6} \right|\)
ОТВЕТ: \( \pm \sqrt 2 ;\;\;0;\;\;1;\;\;2;\;\;3.\)
\(\left| {{x^5}-6{x^2} + 9x-6} \right| = \left| {{x^5}-2{x^3} + 6{x^2}-13x + 6} \right|\) Уравнение вида \(\left| {f\left( x \right)} \right| = \left| {g\left( x \right)} \right|\) равносильно совокупности: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{f\left( x \right) = g\left( x \right),\,\,\,}\\{f\left( x \right) = -g\left( x \right).}\end{array}} \right.\) \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^5}-6{x^2} + 9x-6 = {x^5}-2{x^3} + 6{x^2}-13x + 6,\,\,}\\{{x^5}-6{x^2} + 9x-6 = -{x^5} + 2{x^3}-6{x^2} + 13x-6}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^3}-6{x^2} + 11x-6 = 0,}\\{{x^5}-{x^3}-2x = 0.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\) Рассмотрим первое уравнение последней совокупности: \({x^3}-6{x^2} + 11x-6 = 0.\) Кандидатами в целые корни полученного кубического уравнения являются делители свободного члена, равно \(-6\), то есть: \( \pm 1;\,\,\, \pm 2;\,\,\, \pm 3;\,\,\, \pm 6.\) Подходит \(x = 1\). Разделим многочлен \({x^3}-6{x^2} + 11x-6\) на многочлен \(x-1\): Следовательно, многочлен \({x^3}-6{x^2} + 11x-6\) раскладывается на множители: \(\left( {x-1} \right)\left( {{x^2}-5x + 6} \right).\) Тогда: \(\left( {x-1} \right)\left( {{x^2}-5x + 6} \right) = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x-1 = 0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{{x^2}-5x + 6 = 0}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1,}\\{x = 2,}\\{x = 3.}\end{array}} \right.\) Рассмотрим второе уравнение: \({x^5}-{x^3}-2x = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,x\left( {{x^4}-{x^2}-2} \right) = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{{x^4}-{x^2}-2 = 0}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0,\,\,\,\,}\\{{x^2} = 2,\,}\\{{x^2} = -1}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{x = \pm \sqrt 2 .}\end{array}} \right.\) Таким образом, решение исходного уравнения \(x = \pm \sqrt 2 ,\,\,\,x = 0,\,\,\,x = 1,\,\,\,x = 2,\,\,\,x = 3.\) Ответ: \( \pm \sqrt 2 ;\;\;0;\;\;1;\;\;2;\;\;3.\) 