\(\left| {x-3} \right| \ge \left| {8-x} \right|.\)
Неравенство вида \(\left| {f\left( x \right)} \right| \ge \left| {g\left( x \right)} \right|\) решается возведением обеих частей неравенства в квадрат (это допустимо, так как обе части неравенства неотрицательны):
\({f^2}\left( x \right) \ge {g^2}\left( x \right)\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{f^2}\left( x \right)-{g^2}\left( x \right) \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {f\left( x \right)-g\left( x \right)} \right)\left( {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right) \ge 0.\)
\(\left| {x-3} \right| \ge \left| {8-x} \right|\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{\left( {x-3} \right)^2} \ge {\left( {8-x} \right)^2}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{\left( {x-3} \right)^2}-{\left( {8-x} \right)^2} \ge 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left( {x-3-8 + x} \right)\left( {x-3 + 8-x} \right) \ge 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left( {2x-11} \right) \cdot 5 \ge 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x \ge \dfrac{{11}}{2}.\)
Ответ: \(\left[ {\dfrac{{11}}{2}; + \infty } \right)\).