ЕГЭ Профиль. Показательные неравенства. Задача 94В ЕГЭ 2025

ОТВЕТ: \(\left( {0;3} \right].\)

\(\dfrac{{{2^{3x}}-10 \cdot {2^{2x}} + 17 \cdot {2^x}-8}}{x} \le 0\)

Решим исходное неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя:

\({2^{3x}}-10 \cdot {2^{2x}} + 17 \cdot {2^x}-8 = 0.\)

Пусть \({2^x} = t.\) Тогда уравнение примет вид: \({t^3}-10{t^2} + 17t-8 = 0.\)

Получили кубическое уравнение. Кандидатами в целые корни полученного кубического уравнения являются делители свободного члена, равного \(-8,\) то есть: \( \pm 1;\,\,\, \pm 2;\,\,\, \pm 4;\,\,\, \pm 8.\)

Подходит \( t = 1.\) Разделим многочлен \({t^3}-10{t^2} + 17t-8\) на многочлен \(t-1:\)

Следовательно, многочлен \({t^3}-10{t^2} + 17t-8\) раскладывается на множители \(\left( {{t^2}-9t + 8} \right)\left( {t-1} \right).\) Тогда:

\(\left( {t-1} \right)\left( {{t^2}-9t + 8} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t-1 = 0,\;\;\;\;\;\;\;}\\{{t^2}-9t + 8 = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 1,}\\{t = 1,}\\{t = 8.}\end{array}} \right.\)

Вернёмся к прежней переменной: \(\left[ \begin{array}{l}{2^x} = 1,\\{2^x} = 8\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left[ \begin{array}{l}x = 0,\\x = 3.\end{array} \right.\)

Найдём нули знаменателя: \(x \ne 0.\)

Так как \({t^3}-10{t^2} + 17t-8 = {\left( {t-1} \right)^2}\left( {t-8} \right),\) то исходное неравенство можно записать в виде:

\(\dfrac{{{2^{3x}}-10 \cdot {2^{2x}} + 17 \cdot {2^x}-8}}{x} \le 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\dfrac{{{{\left( {{2^x}-1} \right)}^2}\left( {{2^x}-8} \right)}}{x} \le 0.\)

Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \,\left( {0;3} \right].\)

Ответ: \(\left( {0;3} \right].\)