90В (ЕГЭ 2025). Решите неравенство \(\dfrac{{27{x^3} + 9{x^2}-3x-1}}{{{{64}^{{x^2}}}-4 \cdot {8^{{x^2}}} + 4}} \ge 0\).
ОТВЕТ: \(\left\{ {-\dfrac{1}{3}} \right\} \cup \left[ {\dfrac{1}{3};\dfrac{{\sqrt 3 }}{3}} \right) \cup \left( {\dfrac{{\sqrt 3 }}{3}; + \infty } \right).\)
Найдём ОДЗ: \({64^{{x^2}}}-4 \cdot {8^{{x^2}}} + 4 \ne 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{\left( {{8^{{x^2}}}} \right)^2}-2 \cdot {8^{{x^2}}} \cdot 2 + {2^2} \ne 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{\left( {{8^{{x^2}}}-2} \right)^2} \ne 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{8^{{x^2}}}-2 \ne 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{2^{3{x^2}}} \ne {2^1}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,3{x^2} \ne 1\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,x \ne \pm \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}.\) Преобразуем заданное неравенство: \(\dfrac{{27{x^3} + 9{x^2}-3x-1}}{{{{64}^{{x^2}}}-4 \cdot {8^{{x^2}}} + 4}} \ge 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\dfrac{{9{x^2}\left( {3x + 1} \right)-\left( {3x + 1} \right)}}{{{{\left( {{8^{{x^2}}}-2} \right)}^2}}} \ge 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\dfrac{{\left( {3x + 1} \right)\left( {9{x^2}-1} \right)}}{{{{\left( {{8^{{x^2}}}-2} \right)}^2}}} \ge 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\dfrac{{\left( {3x + 1} \right)\left( {3x + 1} \right)\left( {3x-1} \right)}}{{{{\left( {{8^{{x^2}}}-2} \right)}^2}}} \ge 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\dfrac{{{{\left( {3x + 1} \right)}^2}\left( {3x-1} \right)}}{{{{\left( {{8^{{x^2}}}-2} \right)}^2}}} \ge 0.\) Так как \({\left( {{8^{{x^2}}}-2} \right)^2} > 0\) при \(x \ne \pm \dfrac{{\sqrt 3 }}{3},\) то последнее неравенство равносильно следующей системе: \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {3x + 1} \right)^2}\left( {3x-1} \right) \ge 0,\\x \ne \pm \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}.\end{array} \right.\) Решим неравенство \({\left( {3x + 1} \right)^2}\left( {3x-1} \right) \ge 0\) методом интервалов: Таким образом, решением неравенства \({\left( {3x + 1} \right)^2}\left( {3x-1} \right) \ge 0\) является: \(x \in \left\{ {-\dfrac{1}{3}} \right\} \cup \left[ {\dfrac{1}{3}; + \infty } \right).\) Так как \(x \ne \pm \dfrac{{\sqrt 3 }}{3},\) то решением исходного неравенства является \(x \in \left\{ {-\dfrac{1}{3}} \right\} \cup \left[ {\dfrac{1}{3};\dfrac{{\sqrt 3 }}{3}} \right) \cup \left( {\dfrac{{\sqrt 3 }}{3}; + \infty } \right).\) Ответ: \(\left\{ {-\dfrac{1}{3}} \right\} \cup \left[ {\dfrac{1}{3};\dfrac{{\sqrt 3 }}{3}} \right) \cup \left( {\dfrac{{\sqrt 3 }}{3}; + \infty } \right).\) 