91В (ЕГЭ 2025). Решите неравенство \(\dfrac{{{{27}^{x + 1}}-{9^{x + 2}} + {3^{x + 4}}-27}}{{50{x^2} + 70x + 24,5}} \le 0\).
ОТВЕТ: \(\left( {-\infty ;-0,7} \right) \cup \left( {-0,7;0} \right].\)
Найдём ОДЗ: \(50{x^2} + 70x + 24,5 \ne 0;\,\,\,\,\,\,\,D = {70^2}-4 \cdot 50 \cdot 24,5 = 4900-4900 = 0.\) Так как \(D = 0,\) то квадратный трёхчлен \(50{x^2} + 70x + 24,5\) сворачивается в полный квадрат. Действительно: \(50{x^2} + 70x + 24,5 \ne 0\left| { \cdot 2} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,100{x^2} + 140x + 49 \ne 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{\left( {10x} \right)^2} + 2 \cdot 10x \cdot 7 + {7^2} \ne 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{\left( {10x + 7} \right)^2} \ne 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,10x + 7 \ne 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,x \ne -0,7.\) Преобразуем заданное неравенство: \(\dfrac{{{{27}^{x + 1}}-{9^{x + 2}} + {3^{x + 4}}-27}}{{50{x^2} + 70x + 24,5}} \le 0\left| { \cdot \dfrac{1}{2}} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\dfrac{{27 \cdot {{27}^x}-81 \cdot {9^x} + 81 \cdot {3^x}-27}}{{100{x^2} + 140x + 49}} \le 0\left| {:27} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\dfrac{{{{27}^x}-3 \cdot {9^x} + 3 \cdot {3^x}-1}}{{{{\left( {10x + 7} \right)}^2}}} \le 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\dfrac{{{{\left( {{3^x}} \right)}^3}-3 \cdot {{\left( {{3^x}} \right)}^2} + 3 \cdot {3^x}-1}}{{{{\left( {10x + 7} \right)}^2}}} \le 0.\) Воспользуемся формулой куб разности: \({\left( {a-b} \right)^3} = {a^3}-3{a^2}b + 3a{b^2}-{b^3}.\) Тогда \({\left( {{3^x}} \right)^3}-3 \cdot {\left( {{3^x}} \right)^2} + 3 \cdot {3^x}-1 = {\left( {{3^x}-1} \right)^3}\) и последнее неравенство примет вид: \(\dfrac{{{{\left( {{3^x}} \right)}^3}-3 \cdot {{\left( {{3^x}} \right)}^2} + 3 \cdot {3^x}-1}}{{{{\left( {10x + 7} \right)}^2}}} \le 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\dfrac{{{{\left( {{3^x}-1} \right)}^3}}}{{{{\left( {10x + 7} \right)}^2}}} \le 0.\) Так как \({\left( {10x + 7} \right)^2} > 0\) при \(x \ne -0,7,\) то последнее неравенство равносильно следующей системе: \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {{3^x}-1} \right)^3} \le 0,\\x \ne -0,7\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}{3^x}-1 \le 0,\\x \ne -0,7\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}{3^x} \le {3^0},\\x \ne -0,7\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}x \le 0,\\x \ne -0,7\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,x \in \left( {-\infty ;-0,7} \right) \cup \left( {-0,7;0} \right].\) Следовательно, решением исходного неравенства является \(x \in \left( {-\infty ;-0,7} \right) \cup \left( {-0,7;0} \right].\) Ответ: \(\left( {-\infty ;-0,7} \right) \cup \left( {-0,7;0} \right].\)