92В (ЕГЭ 2025). Решите неравенство \(\dfrac{{{{27}^{x + 1}}-3 \cdot {9^{x + 1}} + {3^{x + 2}}-1}}{{50{x^2} + 50x + 12,5}} \ge 0\).
ОТВЕТ: \(\left[ {-1;-0,5} \right) \cup \left( {-0,5; + \infty } \right).\)
Найдём ОДЗ: \(50{x^2} + 50x + 12,5 \ne 0;\,\,\,\,\,\,\,D = {50^2}-4 \cdot 50 \cdot 12,5 = 2500-2500 = 0.\) Так как \(D = 0,\) то квадратный трёхчлен \(50{x^2} + 50x + 12,5\) сворачивается в полный квадрат. Действительно: \(50{x^2} + 50x + 12,5 \ne 0\left| { \cdot 2} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,100{x^2} + 100x + 25 \ne 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{\left( {10x} \right)^2} + 2 \cdot 10x \cdot 5 + {5^2} \ne 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{\left( {10x + 5} \right)^2} \ne 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,10x + 5 \ne 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,x \ne -0,5.\) Преобразуем заданное неравенство: \(\dfrac{{{{27}^{x + 1}}-3 \cdot {9^{x + 1}} + {3^{x + 2}}-1}}{{50{x^2} + 50x + 12,5}} \ge 0\left| { \cdot \dfrac{1}{2}} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\dfrac{{27 \cdot {{27}^x}-27 \cdot {9^x} + 9 \cdot {3^x}-1}}{{100{x^2} + 100x + 25}} \ge 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\dfrac{{{{\left( {3 \cdot {3^x}} \right)}^3}-3 \cdot {{\left( {3 \cdot {3^x}} \right)}^2} + 3 \cdot \left( {3 \cdot {3^x}} \right)-1}}{{{{\left( {10x + 5} \right)}^2}}} \ge 0.\) Воспользуемся формулой куб разности: \({\left( {a-b} \right)^3} = {a^3}-3{a^2}b + 3a{b^2}-{b^3}.\) Тогда \({\left( {3 \cdot {3^x}} \right)^3}-3 \cdot {\left( {3 \cdot {3^x}} \right)^2} + 3 \cdot \left( {3 \cdot {3^x}} \right)-1 = {\left( {3 \cdot {3^x}-1} \right)^3}\) и последнее неравенство примет вид: \(\dfrac{{{{\left( {3 \cdot {3^x}} \right)}^3}-3 \cdot {{\left( {3 \cdot {3^x}} \right)}^2} + 3 \cdot \left( {3 \cdot {3^x}} \right)-1}}{{{{\left( {10x + 5} \right)}^2}}} \ge 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\dfrac{{{{\left( {3 \cdot {3^x}-1} \right)}^3}}}{{{{\left( {10x + 5} \right)}^2}}} \ge 0.\) Так как \({\left( {10x + 5} \right)^2} > 0\) при \(x \ne -0,5,\) то последнее неравенство равносильно следующей системе: \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {3 \cdot {3^x}-1} \right)^3} \ge 0,\\x \ne -0,5\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}3 \cdot {3^x}-1 \ge 0,\\x \ne -0,5\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}{3^x} \ge {3^{-1}},\\x \ne -0,5\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}x \ge -1,\\x \ne -0,5\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,x \in \left[ {-1;-0,5} \right) \cup \left( {-0,5; + \infty } \right).\) Следовательно, решением исходного неравенства является \(x \in \left[ {-1;-0,5} \right) \cup \left( {-0,5; + \infty } \right).\) Ответ: \(\left[ {-1;-0,5} \right) \cup \left( {-0,5; + \infty } \right).\)