\(\dfrac{{{2^{3x}}-2 \cdot {4^{x + 1}} + 5 \cdot {2^{x + 2}}-16}}{{x-1}} \ge 0\)
Решим исходное неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя:
\({2^{3x}}-2 \cdot {4^{x + 1}} + 5 \cdot {2^{x + 2}}-16 = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{2^{3x}}-8 \cdot {2^{2x}} + 20 \cdot {2^x}-16 = 0.\)
Пусть \({2^x} = t.\) Тогда уравнение примет вид: \({t^3}-8{t^2} + 20t-16 = 0.\)
Получили кубическое уравнение. Кандидатами в целые корни полученного кубического уравнения являются делители свободного члена, равного \(-16,\) то есть: \( \pm 1;\,\,\, \pm 2;\,\,\, \pm 4;\,\,\, \pm 8;\,\,\, \pm 16.\)
Подходит \(t = 2.\) Разделим многочлен \({t^3}-8{t^2} + 20t-16\) на многочлен \(t-2:\)
Следовательно, многочлен \({t^3}-8{t^2} + 20t-16\) раскладывается на множители \(\left( {{t^2}-6t + 8} \right)\left( {t-2} \right).\) Тогда:
\(\left( {t-2} \right)\left( {{t^2}-6t + 8} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t-2 = 0,\;\;\;\;\;\;\;}\\{{t^2}-6t + 8 = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 2,}\\{t = 2,}\\{t = 4.}\end{array}} \right.\)
Вернёмся к прежней переменной: \(\left[ \begin{array}{l}{2^x} = 2,\\{2^x} = 4\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left[ \begin{array}{l}x = 1,\\x = 2.\end{array} \right.\)
Найдём нули знаменателя: \(x \ne 1.\)
Так как \({t^3}-8{t^2} + 20t-16 = {\left( {t-2} \right)^2}\left( {t-4} \right),\) то исходное неравенство можно записать в виде:
\(\dfrac{{{2^{3x}}-2 \cdot {4^{x + 1}} + 5 \cdot {2^{x + 2}}-16}}{{x-1}} \ge 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\dfrac{{{{\left( {{2^x}-2} \right)}^2}\left( {{2^x}-4} \right)}}{{x-1}} \ge 0.\)
Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \,\left( {-\infty ;1} \right) \cup \left[ {2; + \infty } \right).\)
Ответ: \(\,\left( {-\infty ;1} \right) \cup \left[ {2; + \infty } \right).\)