98В (ЕГЭ 2025). Решите неравенство \(\dfrac{{{{1,5}^x}-3,375}}{{{{0,25}^x}-{{0,5}^{x-3,5}} + 32}} \le 0.\)
ОТВЕТ: \(\left( {-\infty ;-2,5} \right) \cup \left( {-2,5;3} \right].\)
\(\dfrac{{{{1,5}^x}-3,375}}{{{{0,25}^x}-{{0,5}^{x-3,5}} + 32}} \le 0.\) Найдём ОДЗ: \({0,25^x}-{0,5^{x-3,5}} + 32 \ne 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{0,5^{2x}}-\dfrac{{{{0,5}^x}}}{{{{0,5}^{3,5}}}} + 32 \ne 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{0,5^{2x}}-{2^{3,5}} \cdot {0,5^x} + 32 \ne 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{0,5^{2x}}-2 \cdot {2^2} \cdot {2^{0,5}} \cdot {0,5^x} + 32 \ne 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{0,5^{2x}}-2 \cdot 4\sqrt 2 \cdot {0,5^x} + {\left( {4\sqrt 2 } \right)^2} \ne 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{\left( {{{0,5}^x}-4\sqrt 2 } \right)^2} \ne 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{0,5^x}-4\sqrt 2 \ne 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{2^{-x}} \ne {2^{2,5}}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,-x \ne 2,5\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,x \ne -2,5.\) С учётом преобразований, проведенных при нахождении ОДЗ, исходное неравенство примет вид: \(\dfrac{{{{1,5}^x}-3,375}}{{{{0,25}^x}-{{0,5}^{x-3,5}} + 32}} \le 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\dfrac{{{{1,5}^x}-3,375}}{{{{\left( {{{0,5}^x}-4\sqrt 2 } \right)}^2}}} \le 0.\) Так как \({\left( {{{0,5}^x}-4\sqrt 2 } \right)^2} > 0\) при \(x \ne -2,5,\) то последнее неравенство равносильно следующей системе: \(\left\{ \begin{array}{l}{1,5^x}-3,375 \le 0,\\x \ne -2,5\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}{1,5^x} \le {1,5^3},\\x \ne -2,5\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}x \le 3,\\x \ne -2,5\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,x \in \left( {-\infty ;-2,5} \right) \cup \left( {-2,5;3} \right].\) Следовательно, решением исходного неравенства является \(x \in \left( {-\infty ;-2,5} \right) \cup \left( {-2,5;3} \right].\) Ответ: \(\left( {-\infty ;-2,5} \right) \cup \left( {-2,5;3} \right].\)