\({\left( {\dfrac{1}{7}} \right)^{2x}} + 6 \cdot {\left( {\dfrac{1}{7}} \right)^x}-7 < 0\)
Пусть \({\left( {\dfrac{1}{7}} \right)^x} = t.\) Тогда неравенство примет вид: \({t^2} + 6t-7 < 0.\)
\({t^2} + 6t-7 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = -7,\,\,}\\{t = 1.\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\)
\({t^2} + 6t-7 < 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {t + 7} \right)\left( {t-1} \right) < 0.\)
Решим полученное неравенство методом интервалов:
\(-7 < t < 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;-7 < {\left( {\dfrac{1}{7}} \right)^x} < 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\left( {\dfrac{1}{7}} \right)^x} < {\left( {\dfrac{1}{7}} \right)^0}\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,x > 0.\)
Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( {0;\,\infty } \right).\)
Ответ: \(\left( {0;\,\infty } \right).\)