\({0,5^{2x-1}} + 3 \cdot {0,5^x}-2 \ge 0\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,2 \cdot {0,5^{2x}} + 3 \cdot {0,5^x}-2 \ge 0.\)
Пусть \({0,5^x} = t.\) Тогда неравенство примет вид: \(2{t^2} + 3t-2 \ge 0.\)
\(2{t^2} + 3t-2 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = -2,\,\,}\\{t = \dfrac{1}{2}.\,\,\,\,}\end{array}} \right.\)
\(2{t^2} + 3t-2 \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {2t-1} \right)\left( {t + 2} \right) \ge 0.\)
Решим полученное неравенство методом интервалов:
\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t \le -2,}\\{t \ge \dfrac{1}{2}\,\,\,}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{0,5}^x} \le -2,\,\,\,}\\{{{0,5}^x} \ge 0,5\,\,\,}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \notin R,}\\{x \le 1\,\,\,\,}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,x \in \,\left( {-\infty ;1} \right].\)
Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \,\left( {-\infty ;1} \right].\)
Ответ: \(\left( {-\infty ;1} \right].\)