146В (ЕГЭ 2023). В июле 2025 года планируется взять кредит на десять лет под 10% годовых. Условия его возврата таковы:
– каждый январь долг будет возрастать на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо оплатить одним платежом часть долга;
– в июле 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
– в июле 2030 года долг составит 800 тыс. рублей;
– в июле 2031, 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
– к июлю 2035 года долг должен быть выплачен полностью.
Найдите сумму кредита, если общая сумма выплат после полного погашения кредита будет равна 2090 тыс. рублей.
Ответ
ОТВЕТ: 1300 тысяч рублей.
Решение
Пусть А тысяч рублей кредит сроком на 10 лет. Так как первые 5 лет долг уменьшается каждый год на одну и ту же сумму и через 5 лет в конце 2030 года составил 800 тысяч рублей, то эта сумма равна \(\dfrac{{A-800}}{5}\) тысяч рублей.
Так как последние 5 лет долг также уменьшался на одну и ту же сумму и в конце 2035 года выплачен полностью, эта сумма равна \(\dfrac{{800}}{5} = 160\) тысяч рублей.
| Год |
Начисленные % (тыс. руб) |
Остаток (тыс. руб) |
| 1 |
\(A \cdot \dfrac{{10}}{{100}}\) |
\(A-\dfrac{{A-800}}{5}\) |
| 2 |
\(\left( {A-\dfrac{{A-800}}{5}} \right) \cdot \dfrac{{10}}{{100}}\) |
\(A-2 \cdot \dfrac{{A-800}}{5}\) |
| … |
… |
… |
| 5 |
\(\left( {A-4 \cdot \dfrac{{A-800}}{5}} \right) \cdot \dfrac{{10}}{{100}}\) |
800 |
| 6 |
\(800 \cdot \dfrac{{10}}{{100}}\) |
640 |
| 7 |
\(640 \cdot \dfrac{{10}}{{100}}\) |
480 |
| … |
… |
… |
| 10 |
\(160 \cdot \dfrac{{10}}{{100}}\) |
0 |
Общая сумма выплат равна сумме кредита (A тысяч рублей) плюс начисленные проценты. В столбце «Начисленные %» первые 6 слагаемых и последние 4 представляют собой арифметические прогрессии:
\(A + A \cdot \dfrac{{10}}{{100}} + \left( {A-\dfrac{{A-800}}{5}} \right) \cdot \dfrac{{10}}{{100}} + … + 800 \cdot \dfrac{{10}}{{100}} + 640 \cdot \dfrac{{10}}{{100}} + … + 160 \cdot \dfrac{{16}}{{100}} = 2090\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,A + \dfrac{{10}}{{100}} \cdot \dfrac{{A + 800}}{2} \cdot 6 + \dfrac{{10}}{{100}} \cdot \dfrac{{640 + 160}}{2} \cdot 4 = 2090\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,A + 0,3A + 240 + 160 = 2090\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,1,3A = 1690\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,A = 1300\) тысяч рублей.
Ответ: 1300 тысяч рублей.