A = 419 375 рублей – сумма кредита. Через год долг увеличивается на 20%, то есть в \(\dfrac{{100 + 20}}{{100}} = 1,2 = t\) раз.
x – ежегодная выплата (в рублях).
| Год |
Долг после начисления процентов (руб) |
Платёж (руб) |
Остаток после платежа (руб) |
| 1 |
\(At\) |
x |
\(At-x\) |
| 2 |
\(\left( {At-x} \right)t\) |
x |
\(\left( {At-x} \right)t-x\) |
| 3 |
\(\left( {\left( {At-x} \right) \cdot t-x} \right)t\) |
x |
\(\left( {\left( {At-x} \right) \cdot t-x} \right)t-x\) |
| 4 |
\(\left( {\left( {\left( {At-x} \right)t-x} \right)t-x} \right)t\) |
x |
\(\left( {\left( {\left( {At-x} \right)t-x} \right)t-x} \right)t-x\) |
Так как долг выплачен за 4 года, то остаток в конце четвёртого года равен нулю:
\(\left( {\left( {\left( {At-x} \right)t-x} \right)t-x} \right)t-x = 0\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,A\,{t^4}-x\,{t^3}-x\,{t^2}-x\,t-x = 0\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,A{t^4} = x\left( {{t^3} + {t^2} + t + 1} \right)\)
\(x = \dfrac{{A{t^4}}}{{{t^3} + {t^2} + t + 1}} = \dfrac{{419375 \cdot {{1,2}^4}}}{{{{1,2}^3} + {{1,2}^2} + 1,2 + 1}} = \dfrac{{419375 \cdot {{1,2}^4}}}{{5,368}} = 78125 \cdot 1,44 \cdot 1,44 = 162000\) рублей.
Так как каждый платёж равен 162000 рублей, а количество платежей равно 4, то банку было выплачено \(4 \cdot 162000 = 648000\) рублей.
Ответ: 648000 рублей.