36 (ЕГЭ 2025). Зависимость количества Q (в шт., \(0 \le Q \le 12\;000\)) купленного у фирмы товара от цены P (в руб. за шт.) выражается формулой \(Q = 12\;000-P\). Затраты на производство Q единиц товара составляют \(5{Q^2}\) рублей. Кроме затрат на производство, фирма должна платить налог t рублей \(\left( {0 < t < 11\;000} \right)\) с каждой произведённой единицы товара. Таким образом, прибыль фирмы составляет \(PQ-5{Q^2}-t\,Q\) рублей, а общая сумма налогов, собранных государством, равна \(t\,Q\) рублей. Фирма производит такое количество товара, при котором её прибыль максимальна. При каком значении t общая сумма налогов, собранных государством, будет максимальной?

Ответ

ОТВЕТ: 6 000.

Решение

Пусть y – прибыль: \(y = P\,Q-5{Q^2}-t\,Q.\)

Пусть z – общая сумма налогов, собранных государством: \(z = t\,Q.\)

Так как \(Q = 12000-P,\) то \(P = 12000-Q.\) Тогда:

\(y = 12000Q-{Q^2}-5{Q^2}-t\,Q\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;y = -6{Q^2}-\left( {t-12000} \right)Q.\)

Графиком полученной функции является парабола, ветви которой направлены вниз. Следовательно, её наибольшее значение будет в вершине: \({Q_B} = \dfrac{{12000-t}}{{12}}.\)

Тогда: \(z = t\,Q\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;z = t\,\left( {\dfrac{{12000-t}}{{12}}} \right)\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;z = -\dfrac{{{t^2}}}{{12}} + 1000t.\)

Наибольшее значение полученной параболы, ветви которой направлены вниз, будет в вершине: \({t_B} = \dfrac{{-1000}}{{-2 \cdot \dfrac{1}{{12}}}} = 6000.\)

Следовательно, сумма налогов собранных государством, будет максимальной при \(t = 6000\) руб.

Ответ: 6000.