Пусть \({x^2}\) часов рабочие трудятся на заводе, расположенном в первом городе, производя x единиц товара, \({y^2}\) часов – во втором, производя y единиц товара. Тогда сумма оплаты труда рабочих за неделю:
\(250{x^2} + 200{y^2} = 900000,\) где \(x \in \left[ {0;60} \right],\;\;\;\;y \in \left[ {0;30\sqrt 5 } \right].\)
Пусть z – общее количество единиц товара. Тогда: \(z = x + y.\) Следовательно:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{z = x + y,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{250{x^2} + 200{y^2} = 900000}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{z = x + y,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{y = \sqrt {4500-\dfrac{{5{x^2}}}{4}} }\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;z = x + \sqrt {4500-\dfrac{{5{x^2}}}{4}} .\)
Требуется найти z наибольшее при \(x \in \left[ {0;60} \right].\) Найдём производную:
\(z’ = 1-\dfrac{{\dfrac{{5x}}{2}}}{{2\sqrt {4500-\dfrac{{5{x^2}}}{4}} }}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;z’ = \dfrac{{2\sqrt {18000-5{x^2}} -5x}}{{2\sqrt {18000-5{x^2}} }}.\)
Найдём нули производной:
\(\dfrac{{2\sqrt {18000-5{x^2}} -5x}}{{2\sqrt {18000-5{x^2}} }} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;2\sqrt {18000-5{x^2}} = 5x\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;72000-20{x^2} = 25{x^2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{x^2} = 1600\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x = 40.\)
Следовательно, \(x = 40\) – точка максимума, и значит z будет наибольшим при \(x = 40.\)
\(z\left( {40} \right) = 40 + \sqrt {4500-\dfrac{{5 \cdot 1600}}{4}} = 40 + \sqrt {2500} = 40 + 50 = 90\) единиц товара.
Ответ: 90.