Профиль №17. Треугольник и его элементы. Задача 48В

ОТВЕТ:  6.

а) Так как \(\angle B{C_1}C = \angle B{B_1}C = {90^ \circ },\) то вокруг четырёхугольника BC₁B₁C можно описать окружность, диаметром которой является BC. Следовательно, \(\angle BC{B_1} + \angle B{C_1}{B_1} = {180^ \circ }.\) Пусть \(\angle BC{B_1} = \alpha ,\) тогда \(\angle B{C_1}{B_1} = {180^ \circ }-\alpha .\)

Значит \(\angle A{C_1}{B_1} = {180^ \circ }-\angle B{C_1}{B_1} = {180^ \circ }-\left( {{{180}^ \circ }-\alpha } \right) = \alpha .\) В четырёхугольнике AB₁HC₁  \(\angle A{C_1}H = \angle A{B_1}H = {90^ \circ }.\) Следовательно, сумма этих углов равна \({180^ \circ }\) и около этого четырёхугольника можно описать окружность. Тогда \(\angle AH{B_1} = \angle A{C_1}{B_1} = \alpha ,\) так как они опираются на одну дугу AB₁. Следовательно, \(\angle ACB = \angle AH{B_1}.\) Что и требовалось доказать.

б) Так как \(\angle BAC = {45^ \circ },\) то в прямоугольном треугольнике ABB₁ \(\angle AB{B_1} = {45^ \circ }\) и он является равнобедренным с равными катетами AB₁ и BB₁. Прямоугольные треугольники AHB₁ и BB₁C подобны по острому углу: \(\angle ACB = \angle AH{B_1}\) из пункта а. Тогда: \(\dfrac{{A{B_1}}}{{AH}} = \dfrac{{B{B_1}}}{{BC}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\dfrac{{A{B_1}}}{6} = \dfrac{{A{B_1}}}{{BC}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,BC = 6.\)

Ответ:  6.