56В (ЕГЭ 2025). Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
\({\left( {\left| {x-2a-1} \right| + \left| {x-2a + 1} \right|} \right)^2} + a\left( {\left| {x-2a-1} \right| + \left| {x-2a + 1} \right|} \right) + {a^2}-48 = 0\)
имеет ровно два различных корня.
ОТВЕТ: \(\left\{ {-8} \right\} \cup \left( {-1-\sqrt {45} ;-1 + \sqrt {45} } \right).\)
Пусть \(\left| {x-2a-1} \right| + \left| {x-2a + 1} \right| = t,\) тогда уравнение примет вид: \({t^2} + a\,t + {a^2}-48 = 0.\) Проанализируем при каких значениях переменной t уравнение \(\left| {x-2a-1} \right| + \left| {x-2a + 1} \right| = t\) будет иметь корни. Для этого найдём нули подмодульных выражений: \(\left[ \begin{array}{l}x-2a-1 = 0,\\x-2a + 1 = 0\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left[ \begin{array}{l}x = 2a + 1,\\x = 2a-1.\end{array} \right.\) Заметим, что \(2a + 1 > 2a-1\) при любом значении a. Если \(x < 2a-1,\) то \(t = -x + 2a + 1-x + 2a-1 = -2x + 4a.\) Если \(2a-1 \le x \le 2a + 1,\) то \(t = -x + 2a + 1 + x-2a + 1 = 2.\) Если \(x > 2a + 1,\) то \(t = x-2a-1 + x-2a + 1 = 2x-4a.\) Из построенного эскиза графика видно, что: если \(t > 2,\) то уравнение \(t = \left| {x-2a-1} \right| + \left| {x-2a + 1} \right|\) будет иметь два решения; если \(t = 2,\) то уравнение \(t = \left| {x-2a-1} \right| + \left| {x-2a + 1} \right|\) будет иметь бесконечно много решений; если \(t < 2,\) то уравнение \(t = \left| {x-2a-1} \right| + \left| {x-2a + 1} \right|\) не будет иметь решений. Следовательно, исходное уравнение будет иметь два решения в следующих случаях. 1 случай Квадратное уравнение \({t^2} + a\,t + {a^2}-48 = 0\) будет иметь один корень больше 2. Для этого необходимо выполнение следующих условий: \(\left\{ \begin{array}{l}D = 0,\\t > 2.\end{array} \right.\) \(D = {a^2}-4\left( {{a^2}-48} \right) = 192-3{a^2} = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left[ \begin{array}{l}a = 8,\\a = -8.\end{array} \right.\) Если \(a = 8,\) то \({t^2} + 8t + 16 = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{\left( {t + 4} \right)^2} = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,t = -4 < 2.\) Следовательно, \(a = 8\) не подходит. Если \(a = -8,\) то \({t^2}-8t + 16 = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{\left( {t-4} \right)^2} = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,t = 4 > 2.\) Следовательно, \(a = 8\) подходит. 2 случай \({2^2} + 2a + {a^2}-48 < 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{a^2} + 2a-44 < 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,a \in \left( {-1-\sqrt {45} ;-1 + \sqrt {45} } \right).\) Таким образом, исходное уравнение будет иметь два решения при \(a \in \left\{ {-8} \right\} \cup \left( {-1-\sqrt {45} ;-1 + \sqrt {45} } \right).\) Ответ: \(\left\{ {-8} \right\} \cup \left( {-1-\sqrt {45} ;-1 + \sqrt {45} } \right).\) 
Тогда эскиз графика функции \(t = \left| {x-2a-1} \right| + \left| {x-2a + 1} \right|\) будет иметь вид (см. рис. 1):
Квадратное уравнение \({t^2} + a\,t + {a^2}-48 = 0\) будет иметь один корень больше 2, а второй меньше 2. Введём функцию \(f\left( t \right) = {t^2} + a\,t + {a^2}-48\) графиком которой является парабола ветвями направленная вверх. Поэтому один корень будет больше 2, а второй меньше 2 если выполнится условие \(f\left( 2 \right) < 0\) (см. рис. 2):