а) \(\sqrt 3 \sin 2x + 3\cos 2x = 0.\)
Однородное тригонометрическое уравнение первой степени.
\(\sqrt 3 \sin 2x + 3\cos 2x = 0 \,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\sqrt 3 {\rm{tg}}\,2x + 3 = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{\rm{tg}}\,2x = -\dfrac{3}{{\sqrt 3 }}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{\rm{tg}}\,2x = -\sqrt 3 \,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,2x = -\dfrac{{\rm{\pi }}}{3} + {\rm{\pi }}k,\,\,\,\,\,k \in Z\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,x = -\dfrac{{\rm{\pi }}}{6} + \dfrac{{{\rm{\pi }}k}}{2},\,\,\,\,\,k \in Z.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {{\rm{\pi }};\dfrac{{{\rm{5\pi }}}}{2}} \right]\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значение:
\(x = -\dfrac{{\rm{\pi }}}{6} + \dfrac{{{\rm{3\pi }}}}{2} = \dfrac{{{\rm{4\pi }}}}{3};\) \(x = -\dfrac{{\rm{\pi }}}{6} + 2{\rm{\pi }} = \dfrac{{{\rm{11\pi }}}}{6};\) \(x = -\dfrac{{\rm{\pi }}}{6} + \dfrac{{{\rm{5\pi }}}}{2} = \dfrac{{{\rm{7\pi }}}}{3}.\)
Ответ: а) \(-\dfrac{{\rm{\pi }}}{6} + \dfrac{{{\rm{\pi }}k}}{2};\quad k \in Z;\)
б) \(\dfrac{{{\rm{4\pi }}}}{3};\quad \dfrac{{11{\rm{\pi }}}}{6};\quad \dfrac{{7{\rm{\pi }}}}{3}.\)