20 (04.07.2025 пересдача). а) Решите уравнение \({\rm{2si}}{{\rm{n}}^3}x-2\sin x + {\cos ^2}x = 0.\)
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \(\left[ {-\dfrac{{{\rm{7\pi }}}}{2};\,-2{\rm{\pi }}} \right]\).
Ответ
ОТВЕТ: а) \(\dfrac{{\rm{\pi }}}{6} + 2{\rm{\pi }}k;\,\,\,\,\,\dfrac{{{\rm{5\pi }}}}{6} + 2{\rm{\pi }}k;\,\,\,\,\,\dfrac{{\rm{\pi }}}{2} + {\rm{\pi }}k;\,\,\,\,k \in Z;\)
б) \(-\dfrac{{7{\rm{\pi }}}}{2};\,\,\,\,\,-\dfrac{{{\rm{19\pi }}}}{6};\,\,\,\,\,-\dfrac{{5{\rm{\pi }}}}{2}.\)
Решение
а) \({\rm{2si}}{{\rm{n}}^3}x-2\sin x + {\cos ^2}x = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,-2\sin x\left( {1-{{\sin }^2}x} \right) + {\cos ^2}x = 0.\)
Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1,\) то есть \({\cos ^2}x = 1-{\sin ^2}x:\)
\(-2\sin x\left( {1-{{\sin }^2}x} \right) + {\cos ^2}x = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,-2\sin x\,\,{\cos ^2}x + {\cos ^2}x = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{\cos ^2}x\left( {-2\sin x + 1} \right) = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left[ \begin{array}{l}{\cos ^2}x = 0,\\-2\sin x + 1 = 0\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left[ \begin{array}{l}\cos x = 0,\\\sin x = \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{\rm{\pi }}}{2} + {\rm{\pi }}k,\\x = \dfrac{{\rm{\pi }}}{6} + 2{\rm{\pi }}k,\\x = \dfrac{{{\rm{5\pi }}}}{6} + 2{\rm{\pi }}k\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,k \in Z.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {-\dfrac{{{\rm{7\pi }}}}{2};\,-2{\rm{\pi }}} \right]\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения:
\(x = \dfrac{{\rm{\pi }}}{2}-3{\rm{\pi }} = -\dfrac{{5{\rm{\pi }}}}{2};\;\,\,\;\,x = \dfrac{{\rm{\pi }}}{2}-4{\rm{\pi }} = -\dfrac{{7{\rm{\pi }}}}{2};\)
\(x = \dfrac{{{\rm{5\pi }}}}{6}-4{\rm{\pi }} = -\dfrac{{19{\rm{\pi }}}}{6}.\)
Ответ: а) \(\dfrac{{\rm{\pi }}}{6} + 2{\rm{\pi }}k;\,\,\,\,\,\dfrac{{{\rm{5\pi }}}}{6} + 2{\rm{\pi }}k;\,\,\,\,\,\dfrac{{\rm{\pi }}}{2} + {\rm{\pi }}k;\,\,\,\,k \in Z;\)
б) \(-\dfrac{{7{\rm{\pi }}}}{2};\,\,\,\,\,-\dfrac{{{\rm{19\pi }}}}{6};\,\,\,\,\,-\dfrac{{5{\rm{\pi }}}}{2}.\)