ЕГЭ профильный уровень. №3 Призма. Задача 14

Задача 14. В основании прямой призмы лежит ромб с диагоналями, равными 6 и 8. Площадь ее поверхности равна 248. Найдите боковое ребро этой призмы.

Ответ

ОТВЕТ: 10.

Решение

Пусть AC = 8, BD = 6. Так как диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам и пересекаются под прямым углом, то AO = 4, BO = 3. По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника AOB:

\(A{B^2} = A{O^2} + B{O^2}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,AB = \sqrt {{4^2} + {3^3}} = 5.\)

Площадь основания: \({S_{ABCD}} = \dfrac{1}{2} \cdot AC \cdot BD = \dfrac{1}{2} \cdot 8 \cdot 6 = 24.\)

Пусть боковое ребро AA₁ = x.

Площадь боковой грани: \({S_{AB{B_1}{A_1}}} = AB \cdot A{A_1} = 5x.\)

Площадь поверхности призмы равна удвоенной площади основания плюс площади боковой поверхности:

\(S = 2 \cdot {S_{ABCD}} + 4 \cdot {S_{AB{B_1}{A_1}}}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,248 = 2 \cdot 24 + 4 \cdot 5x\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x = 10.\)

Ответ: 10.