Задача 14. При каком значении y векторы \(\vec a\,\left( {7;\,5} \right)\) и \(\vec b\,\left( {4;\,y} \right)\) перпендикулярны?
Решение
Если даны векторы \(\vec a\left( {{x_1};{y_1}} \right)\) и \(\vec b\left( {{x_2};{y_2}} \right)\), то скалярное произведение векторов \(\vec a\) и \(\vec b\) равно:
\(\vec a \cdot \vec b = {x_1} \cdot {x_2} + {y_1} \cdot {y_2}\).
Так как \(\vec a \bot \vec b\), то их скалярное произведение равно нулю.
Следовательно:
\(\vec a \cdot \vec b = 7 \cdot 4 + 5 \cdot y = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,5y = -28\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,y = -5,6.\)
Ответ: \(-5,6\).