Задача 4. Решите уравнение  \(cos\frac{\pi \left( {8x + 1} \right)}{6} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\)   В ответе запишите наименьший положительный корень.

Ответ

ОТВЕТ: 1,25.

Решение

\(\cos \frac{{\pi \left( {8x + 1} \right)}}{6} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\frac{{\pi \left( {8x + 1} \right)}}{6} =  \pm \frac{\pi }{6} + 2\pi n\left| { \cdot 6\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\pi \left( {8x + 1} \right) =  \pm \pi  + 12\pi n\left| {:\pi \,\,\,\,\, \Leftrightarrow } \right.} \right.\)

\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,8x + 1 =  \pm 1 + 12n\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{8x = 12n\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{8x =  — 2 + 12n}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{3n}}{2};\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{x =  — \frac{1}{4} + \frac{{3n}}{2},\,\,\,\,n\, \in \,z.}\end{array}} \right.\)

Рассмотрим \(x = \frac{{3n}}{2},\,\,n\, \in \,z\). Если \(n = 0\), то \(x = 0\); если \(n = 1\), то \(x = 1,5\).

Рассмотрим \(x =  — \frac{1}{4} + \frac{{3n}}{2},\,\,n\, \in \,z\). Если \(n = 0\), то \(x =  — 0,25\); если \(n = 1\), то \(x = 1,25\).

Следовательно, наименьший положительный корень \(x = 1,25\).

Ответ: 1,25.