Задача 6. Решите уравнение  \(\sin \frac{\pi x}{3} = 0,5.\)    В ответе напишите наименьший положительный корень.

Ответ

ОТВЕТ: 0,5.

Решение

\(\sin \frac{{\pi x}}{3} = 0,5\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{\pi x}}{3} = \frac{\pi }{6} + 2\pi n\left| { \cdot 3\,} \right.}\\{\frac{{\pi x}}{3} = \frac{{5\pi }}{6} + 2\pi n\left| { \cdot 3} \right.}\end{array}} \right.\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\pi x = \frac{\pi }{2} + 6\pi n\left| {:\pi } \right.}\\{\pi x = \frac{{5\pi }}{2} + 6\pi n\left| {:\pi } \right.}\end{array}} \right.\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{1}{2} + 6n;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{x = \frac{5}{2} + 6n,\,\,\,n\, \in \,z.}\end{array}} \right.\)

Рассмотрим \(x = \frac{1}{2} + 6n,\,\,n\, \in \,z\). Если \(n = 0\), то \(x = 0,5\); если \(n =  — 1\), то \(x =  — 5,5\).

Рассмотрим \(x = \frac{5}{2} + 6n,\,\,n\, \in \,z\). Если \(n = 0\), то \(x = 2,5\); если \(n =  — 1\), то \(x =  — 3,5\).

Следовательно, наименьший положительный корень \(x = 0,5\).

Ответ: 0,5.