Задача 30. Найдите значение выражения   \({\log _a}\left( {a{b^3}} \right)\),   если   \({\log _b}a = \frac{1}{7}\)

Ответ

ОТВЕТ: 22.

Решение

1 Вариант

\({\log _a}\left( {a{b^3}} \right) = {\log _a}a + {\log _a}{b^3} = 1 + 3{\log _a}b = 1 + \frac{3}{{{{\log }_b}a}} = 1 + \frac{3}{{\frac{1}{7}}} = 22.\)

При решении воспользовались свойством: \({\log _a}b + {\log _a}c = {\log _a}\left( {bc} \right).\)

2 Вариант

\({\log _b}a = \frac{1}{7}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,a = {b^{\frac{1}{7}}}\)

\({\log _a}\left( {a{b^3}} \right) = {\log _{{b^{\frac{1}{7}}}}}\left( {{b^{\frac{1}{7}}} \cdot {b^3}} \right) = {\log _{{b^{\frac{1}{7}}}}}{b^{\frac{1}{7} + 3}} = {\log _{{b^{\frac{1}{7}}}}}{b^{\frac{{22}}{7}}} = \frac{1}{{\frac{1}{7}}} \cdot \frac{{22}}{7}{\log _b}b = 22.\)

Ответ: 22.