Задача 31. Найдите   \({\log _a}\frac{a}{{{b^3}}}\),   если   \({\log _a}b = 5\)

Ответ

ОТВЕТ: — 14.

Решение

1 Вариант

\({\log _a}\frac{a}{{{b^3}}} = {\log _a}a — {\log _a}{b^3} = 1 — 3\,\,{\log _a}b = 1 — 3 \cdot 5 =  — 14.\)

При решении воспользовались свойством: \({\log _a}b — {\log _a}c = {\log _a}\frac{b}{c}\).

2 Вариант

\({\log _a}b = 5\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,b = {a^5}\)

\({\log _a}\frac{a}{{{b^3}}} = {\log _a}\frac{a}{{{{\left( {{a^5}} \right)}^3}}} = {\log _a}\frac{a}{{{a^{15}}}} = {\log _a}{a^{ — 14}} =  — 14\,\,{\log _a}a =  — 14.\)

Ответ: — 14.