Задача 42. Найдите \(\frac{{10\cos \alpha + 4\sin \alpha + 15}}{{2\sin \alpha + 5\cos \alpha + 3}}\), если \({\text{tg}}\alpha {\text{ = }} — {\text{2}}{\text{,5}}\)
ОТВЕТ: 5.
1 Вариант Разделим числитель и знаменатель дроби на \(\cos \alpha \). Тогда: \(\frac{{10\cos \alpha + 4\sin \alpha + 15}}{{2\sin \alpha + 5\cos \alpha + 3}} = \frac{{\frac{{10\cos \alpha }}{{\cos \alpha }} + \frac{{4\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} + \frac{{15}}{{\cos \alpha }}}}{{\frac{{2\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} + \frac{{5\cos \alpha }}{{\cos \alpha }} + \frac{3}{{\cos \alpha }}}} = \frac{{10 + 4\,\,tg\alpha + \frac{{15}}{{\cos \alpha }}}}{{2\,\,tg\alpha + 5 + \frac{3}{{\cos \alpha }}}} = \) \( = \frac{{10 + 4 \cdot \left( { — 2,5} \right) + \frac{{15}}{{\cos \alpha }}}}{{2 \cdot \left( { — 2,5} \right) + 5 + \frac{3}{{\cos \alpha }}}} = \frac{{10 — 10 + \frac{{15}}{{\cos \alpha }}}}{{ — 5 + 5 + \frac{3}{{\cos \alpha }}}} = \frac{{\frac{{15}}{{\cos \alpha }}}}{{\frac{3}{{\cos \alpha }}}} = \frac{{15}}{{\cos \alpha }} \cdot \frac{{\cos \alpha }}{3} = 5.\) 2 Вариант Так как \(tg\alpha = — 2,5\), то \(\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = — 2,5\) и \(\sin \alpha = — 2,5\cos \alpha \). Тогда: \(\frac{{10\cos \alpha + 4\sin \alpha + 15}}{{2\sin \alpha + 5\cos \alpha + 3}} = \frac{{10\cos \alpha + 4 \cdot \left( { — 2,5\cos \alpha } \right) + 15}}{{2 \cdot \left( { — 2,5\cos \alpha } \right) + 5\cos \alpha + 3}} = \frac{{10\cos \alpha — 10\cos \alpha + 15}}{{ — 5\cos \alpha + 5\cos \alpha + 3}} = \frac{{15}}{3} = 5.\) Ответ: 5.