ЕГЭ Профиль. Вычисление значений тригонометрических выражений. Задача 42

ОТВЕТ: 5.

1 Вариант

Разделим числитель и знаменатель дроби на \(\cos \alpha \). Тогда:

\(\dfrac{{10\cos \alpha  + 4\sin \alpha  + 15}}{{2\sin \alpha  + 5\cos \alpha  + 3}} = \dfrac{{\dfrac{{10\cos \alpha }}{{\cos \alpha }} + \dfrac{{4\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} + \dfrac{{15}}{{\cos \alpha }}}}{{\dfrac{{2\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} + \dfrac{{5\cos \alpha }}{{\cos \alpha }} + \dfrac{3}{{\cos \alpha }}}} = \dfrac{{10 + 4\,\,tg\alpha  + \dfrac{{15}}{{\cos \alpha }}}}{{2\,\,tg\alpha  + 5 + \dfrac{3}{{\cos \alpha }}}} = \)

\( = \dfrac{{10 + 4 \cdot \left( { — 2,5} \right) + \dfrac{{15}}{{\cos \alpha }}}}{{2 \cdot \left( { — 2,5} \right) + 5 + \dfrac{3}{{\cos \alpha }}}} = \dfrac{{10 — 10 + \dfrac{{15}}{{\cos \alpha }}}}{{ — 5 + 5 + \dfrac{3}{{\cos \alpha }}}} = \dfrac{{\dfrac{{15}}{{\cos \alpha }}}}{{\dfrac{3}{{\cos \alpha }}}} = \dfrac{{15}}{{\cos \alpha }} \cdot \dfrac{{\cos \alpha }}{3} = 5.\)

2 Вариант

Так как  \(tg\alpha  =  — 2,5\),  то \(\dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} =  — 2,5\)  и  \(\sin \alpha  =  — 2,5\cos \alpha \).  Тогда:

\(\dfrac{{10\cos \alpha  + 4\sin \alpha  + 15}}{{2\sin \alpha  + 5\cos \alpha  + 3}} = \dfrac{{10\cos \alpha  + 4 \cdot \left( { — 2,5\cos \alpha } \right) + 15}}{{2 \cdot \left( { — 2,5\cos \alpha } \right) + 5\cos \alpha  + 3}} = \dfrac{{10\cos \alpha  — 10\cos \alpha  + 15}}{{ — 5\cos \alpha  + 5\cos \alpha  + 3}} = \dfrac{{15}}{3} = 5.\)

Ответ: 5.