Задача 7. На рисунке изображены график функции \(y = f\left( x \right)\) и касательная к нему в точке с абсциссой \({x_0}\). Найдите значение производной функции \(f\left( x \right)\) в точке \({x_0}\).
Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Построим прямоугольный треугольник с вершинами в точках \(A\left( {1;\, — 9} \right),\,\,B\left( { — 3;\, — 9} \right),\,\,C\left( { — 3;\, — 3} \right)\) (см. рисунок). Угол наклона касательной к оси абсцисс будет равен углу, смежному углу CAB. Поэтому: \(f’\left( {{x_0}} \right) = {\rm{tg}}\left( {{{180}^\circ } — \angle CAB} \right) = — {\rm{tg}}\angle CAB = — \frac{{CB}}{{AB}} = — \frac{6}{4} = — 1,5.\) Ответ: –1,5.