ЕГЭ профильный уровень. №8 Первообразная. Задача 4math100admin44242025-04-03T20:24:01+03:00
Задача 4. На рисунке изображён график некоторой функции \(y = f\left( x \right)\). Функция \(F\left( x \right) = {x^3} + 30{x^2} + 302x — \dfrac{{15}}{8}\) — одна из первообразных функции \(f\left( x \right)\). Найдите площадь закрашенной фигуры.
Решение
Площадь закрашенной фигуры равна интегралу \(\int\limits_{ — 11}^{ — 9} {\left( x \right)dx} = F\left( { — 9} \right) — F\left( { — 11} \right).\) Найдём значение первообразной в точках – 9 и – 11:
\(F\left( { — 9} \right) = {\left( { — 9} \right)^3} + 30 \cdot {\left( { — 9} \right)^2} + 302 \cdot \left( { — 9} \right) — \dfrac{{15}}{8} = — 729 + 2430 — 2718 — \dfrac{{15}}{8} = — 1017 — \dfrac{{15}}{8}\)
\(F\left( { — 11} \right) = {\left( { — 11} \right)^3} + 30 \cdot {\left( { — 11} \right)^2} + 302 \cdot \left( { — 11} \right) — \dfrac{{15}}{8} = — 1331 + 3630 — 3322 — \dfrac{{15}}{8} = — 1023 — \dfrac{{15}}{8}\)
Тогда площадь закрашенной фигуры:
\(S = F\left( { — 9} \right) — F\left( { — 11} \right) = — 1017 — \dfrac{{15}}{8} — \left( { — 1023 — \dfrac{{15}}{8}} \right) = 6\)
Ответ: 6.