Задача 4. На рисунке изображён график некоторой функции \(y = f\left( x \right)\). Функция \(F\left( x \right) = {x^3} + 30{x^2} + 302x — \frac{{15}}{8}\) — одна из первообразных функции \(f\left( x \right)\). Найдите площадь закрашенной фигуры.

Ответ

ОТВЕТ: 6.

Решение

Площадь закрашенной фигуры равна интегралу  \(\int\limits_{ — 11}^{ — 9} {\left( x \right)dx}  = F\left( { — 9} \right) — F\left( { — 11} \right).\) Найдём значение первообразной в точках   – 9  и   – 11:

\(F\left( { — 9} \right) = {\left( { — 9} \right)^3} + 30 \cdot {\left( { — 9} \right)^2} + 302 \cdot \left( { — 9} \right) — \frac{{15}}{8} =  — 729 + 2430 — 2718 — \frac{{15}}{8} =  — 1017 — \frac{{15}}{8}\)

\(F\left( { — 11} \right) = {\left( { — 11} \right)^3} + 30 \cdot {\left( { — 11} \right)^2} + 302 \cdot \left( { — 11} \right) — \frac{{15}}{8} =  — 1331 + 3630 — 3322 — \frac{{15}}{8} =  — 1023 — \frac{{15}}{8}\)

Тогда площадь закрашенной фигуры: 

\(S = F\left( { — 9} \right) — F\left( { — 11} \right) =  — 1017 — \frac{{15}}{8} — \left( { — 1023 — \frac{{15}}{8}} \right) = 6\)

Ответ: 6.