Задача 5. На рисунке изображён график некоторой функции \(y = f\left( x \right)\). Функция \(F\left( x \right) =  — {x^3} — 27{x^2} — 240x — 8\) — одна из первообразных функции \(f\left( x \right)\). Найдите площадь закрашенной фигуры.

Ответ

ОТВЕТ: 4.

Решение

Площадь закрашенной фигуры равна интегралу  \(\int\limits_{ — 10}^{ — 8} {\left( x \right)dx}  = F\left( { — 10} \right) — F\left( { — 8} \right).\) Найдём значение первообразной в точках   – 8  и   – 10:

\(F\left( { — 8} \right) =  — {\left( { — 8} \right)^3} — 27 \cdot {\left( { — 8} \right)^2} — 240 \cdot \left( { — 8} \right) — 8 = 512 — 1728 + 1920 — 8 = 696\)

\(F\left( { — 10} \right) =  — {\left( { — 10} \right)^3} — 27 \cdot {\left( { — 10} \right)^2} — 240 \cdot \left( { — 10} \right) — 8 = 1000 — 2700 + 2400 — 8 = 692\)

Тогда площадь закрашенной фигуры:   \(S = F\left( { — 8} \right) — F\left( { — 10} \right) = 696 — 692 = 4\)

Ответ: 4.