ЕГЭ профильный уровень. №8 Первообразная. Задача 6math100admin44242025-04-03T20:25:50+03:00
Задача 6 . На рисунке изображён график некоторой функции \(y = f\left( x \right)\). Функция \(F\left( x \right) = \dfrac{1}{2}{x^3} — \dfrac{9}{2}{x^2} + 14x — 12\) — одна из первообразных функции \(f\left( x \right)\). Найдите площадь закрашенной фигуры.
Решение
Площадь закрашенной фигуры равна интегралу \(\int\limits_1^4 {\left( x \right)dx} = F\left( 4 \right) — F\left( 1 \right).\) Найдём значение первообразной в точках 4 и 1:
\(F\left( 4 \right) = \dfrac{1}{2} \cdot {4^3} — \dfrac{9}{2} \cdot {4^2} + 14 \cdot 4 — 12 = 32 — 72 + 56 — 12 = 4\)
\(F\left( 1 \right) = \dfrac{1}{2} \cdot {1^3} — \dfrac{9}{2} \cdot {1^2} + 14 \cdot 1 — 12 = \dfrac{1}{2} — \dfrac{9}{2} + 14 — 12 = — 2\)
Тогда площадь закрашенной фигуры: \(S = F\left( 4 \right) — F\left( 1 \right) = 4 — \left( { — 2} \right) = 6\)
Ответ: 6.