Задача6 . На рисунке изображён график некоторой функции \(y = f\left( x \right)\). Функция \(F\left( x \right) = \frac{1}{2}{x^3} — \frac{9}{2}{x^2} + 14x — 12\) — одна из первообразных функции \(f\left( x \right)\). Найдите площадь закрашенной фигуры.

Ответ

ОТВЕТ: 6.

 

Решение

Площадь закрашенной фигуры равна интегралу  \(\int\limits_1^4 {\left( x \right)dx}  = F\left( 4 \right) — F\left( 1 \right).\) Найдём значение первообразной в точках   4  и   1:

\(F\left( 4 \right) = \frac{1}{2} \cdot {4^3} — \frac{9}{2} \cdot {4^2} + 14 \cdot 4 — 12 = 32 — 72 + 56 — 12 = 4\)

\(F\left( 1 \right) = \frac{1}{2} \cdot {1^3} — \frac{9}{2} \cdot {1^2} + 14 \cdot 1 — 12 = \frac{1}{2} — \frac{9}{2} + 14 — 12 =  — 2\)

Тогда площадь закрашенной фигуры:  \(S = F\left( 4 \right) — F\left( 1 \right) = 4 — \left( { — 2} \right) = 6\)

Ответ: 6.