ЕГЭ профильный уровень. №9 Показательные и логарифмические уравнения и неравенства. Задача 1

Задача 1. При адиабатическом процессе для идеального газа выполняется закон \(p\,{V^k} = const\), где p — давление в газе в паскалях, V — объем газа в кубических метрах. В ходе эксперимента с одноатомным идеальным газом (для него \(k = \dfrac{5}{3}\)) из начального состояния, в котором \(const = {10^5}\;{\rm{Па}} \cdot {м^5}\), газ начинают сжимать. Какой наибольший объем V может занимать газ при давлениях p не ниже \(3,2 \cdot {10^6}\) Па? Ответ выразите в кубических метрах.

Ответ

ОТВЕТ: 0,125.

Решение

Задача сводится к решению уравнения: \(p \cdot {v^k} = {10^5},\) где \(k = \dfrac{5}{3}\) и \(p = 3,2 \cdot {10^6}.\)

\(3,2 \cdot {10^6} \cdot {v^{\frac{5}{3}}} = {10^5}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{v^{\frac{5}{3}}} = \dfrac{{{{10}^5}}}{{3,2 \cdot {{10}^6}}}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{v^{\frac{5}{3}}} = \dfrac{1}{{32}}.\)

Возведём обе части последнего уравнения в степень \(\dfrac{3}{5}:\)

\({\left( {{v^{\frac{5}{3}}}} \right)^{\frac{3}{5}}}\; = {\left( {\dfrac{1}{{{2^5}}}} \right)^{\frac{3}{5}}}\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\;\;v = {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^3}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,v = 0,125.\)

Следовательно, наибольшее значение v = 0,125 м³.

Ответ: 0,125.