Задача 4. Установка для демонстрации адиабатического сжатия представляет собой сосуд с поршнем, резко сжимающим газ. При этом объём и давление связаны соотношением \({p_1}\,V_1^{1,4} = {p_2}\,V_2^{1,4}\), где \({p_1}\,\)и \({p_2}\) — давление газа (в атмосферах) в начальном и конечном состояниях, \(V_1^{}\) и \(V_2^{}\) — объём газа (в литрах) в начальном и конечном состояниях. Изначально объём газа равен 1,6 л, а давление газа равно одной атмосфере. До какого объёма нужно сжать газ, чтобы давление в сосуде стало 128 атмосфер? Ответ дайте в литрах
Решение
Задача сводится к решению уравнения \({p_1}\,V_1^{1,4} = {p_2}\,V_2^{1,4}\) при условии, что V1 = 1,6, p1 = 1, p2 = 128 и \(1,4 = \dfrac{7}{5}.\)
\(1 \cdot {1,6^{\frac{7}{5}}} = 128 \cdot V_2^{\frac{7}{5}}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,V_2^{\frac{7}{5}} = \dfrac{{{{1,6}^{\frac{7}{5}}}}}{{128}}.\)
Возведём обе части последнего уравнения в степень \(\dfrac{5}{7}:\)
\({\left( {V_2^{\frac{7}{5}}} \right)^{\frac{5}{7}}} = {\left( {\dfrac{{{{1,6}^{\frac{7}{5}}}}}{{128}}} \right)^{\frac{5}{7}}}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,{V_2} = \dfrac{{{{\left( {{{1,6}^{\frac{7}{5}}}} \right)}^{\frac{5}{7}}}}}{{{{\left( {{2^7}} \right)}^{\frac{5}{7}}}}} = \dfrac{{1,6}}{{{2^5}}} = \dfrac{{1,6}}{{32}} = 0,05.\)
Следовательно, газ нужно сжать до объёма V = 0,05 л.
Ответ: 0,05.